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Potenzgesetz II-b: Division von Potenzen mit demselben Exponenten

Bei Potenzgesetz II-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Potenzen mit demselben Exponenten berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Der Quotient von zwei Potenzen \(a^n\) und \(b^n\) mit demselben Exponenten \(n\) kann berechnet werden (für \(b \neq 0\)), indem die Basen \(a\) und \(b\) dividiert werden und der Exponent $n$ beibehalten wird. Es gilt:

\[ \frac{a^n}{b^n} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^n. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \geq 0$ und $b \neq 0$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \leq 0$ und $a \neq 0$;
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeradem Nenner, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.

\[ \frac{a^3}{b^3} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^3 \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet.

\[ \frac{a^\frac{1}{2}}{b^\frac{1}{2}} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^\frac{1}{2} \]

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^n$ und $b^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $a$ bzw. $b$ besitzen. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^n}{b^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\bigl( a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}^{n \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\bigl( b \cdot \ldots \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^n \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Aufteilen des Quotienten auf insgesamt \(n\) Faktoren
(3)
  • Ersetzen des Produkts aus \(n\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Quotienten zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ n \lt 0}$

    Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|n|\) um den Betrag von \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} \frac{a^n}{b^n} &\overset{(1)}{=} \frac{a^{-|n|}}{b^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{a^{|n|}}}{\frac{1}{b^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{b^{|n|}}{a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {\left( \frac{b}{a} \right)}^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\left( \frac{b}{a} \right)}^{-n} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^{n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    • Auflösen des Doppelbruchs
    (4)
    • Anwenden von Potenzgesetz II-b für natürliche Exponenten
    (5)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)
    (6)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei ganze Zahlen \(n,r \in \Z\) sowie zwei reelle Zahlen \(a,b \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^{\frac{r}{n}}}{a^{\frac{r}{n}}} &\overset{(1)}{=} \frac{\sqrt[n]{{\left( a^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}}}{\sqrt[n]{{\left( b^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\sqrt[n]{a^{\frac{r}{n} \cdot n}}}{\sqrt[n]{b^{\frac{r}{n} \cdot n}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{\sqrt[n]{a^r}}{\sqrt[n]{b^r}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{\frac{a^r}{b^r}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[n]{{\left( \frac{a}{b} \right)}^r} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\left( \frac{a}{b}\right)}^{\frac{r}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\)
(2)
(3)
  • Kürzen liefert \(\frac{r}{n} \cdot n = r\)
(4)
(5)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b für ganzzahlige Exponenten
(6)
  • Umschreiben der Wurzel als Potenz; es gilt \(\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}\)

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(x \in \R\), eine Folge \({(x_n)}_{n \in \N}\) rationaler Zahlen mit \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\), die gegen \(x\) konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen \(a,b \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^x}{b^x} &\overset{(1)}{=} \frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)}}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( b^{x_n} \right)}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \frac{a^{x_n}}{b^{x_n}} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^x \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b für rationale Exponenten
(4)
(5)
  • Einsetzen von \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\)