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Menge

Bei einer Menge handelt es sich um eine ungeordnete Ansammlung von Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Mengen können endlich oder unendlich viele Elemente beinhalten, miteinander verknüpft und miteinander verglichen werden.

Bei Mengen handelt es sich um eines der wichtigsten und grundlegendsten Konzepte der Mathematik.

Inhalt

Definitionen
Beispiele
Beziehungen zwischen Mengen
Verknüpfungen von Mengen

Definitionen

Menge

Bei einer Menge handelt es sich um eine ungeordnete Ansammlung von Objekten, die Elemente der Menge genannt werden. Es gilt:

Eine Menge ist ungeordnet; die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle und kann beliebig gewählt werden, ohne die Menge zu verändern.
Elemente sind nur genau einmal in einer Menge enthalten. Mehrfachvorkommen sind nicht zulässig.

Anmerkung: Wird auf die Einmaligkeit der Elemente verzichtet, dürfen Elemente also mehrfach vorkommen, so kann dies mithilfe einer Multimenge dargestellt werden.

Element einer Menge

Die in einer Menge enthaltenen Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet.

Ist ein Element $a$ in der Menge $A$ enthalten, so kann dies mithilfe des Elementzeichens $\in$ wie folgt geschrieben werden: $a \in A.$
Ist $a$ hingegen nicht in der Menge $A$ enthalten, so kann dies mithilfe des durchgestrichenen Elementzeichens $\notin$ wie folgt geschrieben werden: $a \notin A.$

Endliche und unendliche Mengen

Eine Menge wird endliche Menge genannt, wenn sie eine endliche Anzahl an Elementen beinhaltet. Entsprechend wird eine Menge unendliche Menge genannt, wenn sie eine unendliche Anzahl an Elementen beinhaltet.

Mächtigkeit

Hauptartikel: Mächtigkeit einer Menge

Bei der Mächtigkeit (auch Kardinalität) einer (endlichen) Menge handelt es sich um die Anzahl der in ihr enthaltenen Elemente. Für eine $n$-elementige Menge $A$ kann die Mächtigkeit mithilfe von Betragsstrichen wie folgt dargestellt werden:

\[ |A| = n. \]

Für eine unendliche Menge $B$ kann die Mächtigkeit analog mithilfe des Unendlichzeichens dargestellt werden:

|B| = \infty.

Die Mächtigkeiten unendlicher Mengen können darüber hinaus mithilfe von sogenannten Kardinalzahlen genauer beschrieben und unterschieden werden.

Leere Menge

Hauptartikel: Leere Menge

Bei der leeren Menge handelt es sich um die einzige nullelementige Menge, also um die Menge, die keinerlei Elemente enthält. Sie wird mithilfe des folgenden Formelsymbols oder als leeres Klammerpaar dargestellt:

\emptyset = \bigl\{ \bigr\}.

Beispiele

Beispiele für endliche Mengen

Bei der Menge $A = \bigl\{ a,b,c \bigr\}$ handelt es sich um eine dreielementige Menge; sie beinhaltet die Elemente $a$, $b$, und $c$ und besitzt die Mächtigkeit $|A| = 3$.
Bei der Menge $B = \bigl\{ \triangle, {\Large\circ}, \times, \square \bigr\}$ handelt es sich um eine vierelementige Menge; sie beinhaltet die Elemente $\triangle$, ${\Large\circ}$, $\times$ und $\square$ und besitzt die Mächtigkeit $|B| = 4$.
Bei der Menge $C = \bigl\{ 1,2,\ldots,10 \bigr\}$ handelt es sich um eine $10$-elementige Menge; sie beinhaltet die Elemente $1$ bis $10$ und besitzt die Mächtigkeit $|C| = 10$.
Bei der Menge $D = \bigl\{ x \in \N \mid 23 \leq x \leq 42 \bigr\}$ handelt es sich um eine Menge, die alle natürlichen Zahlen beinhaltet, die die Bedingung $23 \leq n \leq 42$ erfüllen; sie besitzt die Mächtigkeit $|D| = 20$.

Beispiele für unendliche Mengen

Bei der Menge $E = \bigl\{ 1,2,3,\ldots \bigr\}$ handelt es sich um eine unendliche Menge, die alle Zahlen $1,2,3,\ldots$ beinhaltet. Sie entspricht der Menge $\N$ der natürlichen Zahlen.
Bei der Menge $F = \bigl\{ \ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots \bigr\}$ handelt es sich um eine unendliche Menge, die alle ungeraden ganzen Zahlen beinhaltet.
Bei der Menge $G = \bigl\{ x \in \Z \mid x \text{ ist gerade} \bigr\}$ handelt es sich um eine unendliche Menge, die alle geraden ganzen Zahlen beinhaltet.

Beziehungen zwischen Mengen

Teilmenge

Hauptartikel: Teilmenge

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Die Menge $A$ wird Teilmenge von $B$ genannt, falls jedes Element der Menge $A$ ebenfalls in der Menge $B$ enthalten ist. Handelt es sich bei $A$ um eine Teilmenge von $B$, so wird dies als $A \subseteq B$ geschrieben:

A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A : x \in B.

Die Teilmengenbeziehung wird auch Inklusion genannt.

Echte Teilmenge

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Die Menge $A$ wird echte Teilmenge von $B$ genannt, falls jedes Element der Menge $A$ ebenfalls in der Menge $B$ enthalten ist und die Menge $B$ darüber hinaus noch mindestens ein weiteres Element beinhaltet. Handelt es sich bei $A$ um eine echte Teilmenge von $B$, so wird dies als $A \subset B$ geschrieben:

A \subset B \Leftrightarrow A \subseteq B \text{ und } A \neq B.

Die echte Teilmengenbeziehung wird auch strenge Inklusion genannt.

Gleichheit

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Die Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn sie dieselben Elemente beinhalten – wenn also alle Elemente aus $A$ in $B$ enthalten sind und umgekehrt alle Elemente aus $B$ ebenfalls in $A$ enthalten sind. Dies kann mithilfe der Inklusion wie folgt dargestellt werden:

A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \text{ und } B \subseteq A.

Verknüpfungen von Mengen

Schnitt

Hauptartikel: Schnitt von Mengen

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. In der Schnittmenge $A \cap B$ sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind:

A \cap B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und } x \in B \Bigr\}.

Vereinigung

Hauptartikel: Vereinigung von Mengen

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. In der Vereinigungsmenge $A \cup B$ sind alle Elemente enthalten, die in der Menge $A$, in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind:

A \cup B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und/oder } x \in B \Bigr\}.

Differenz

Hauptartikel: Differenz von Mengen

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. In der Differenz $A \setminus B$ sind alle Elemente enthalten, die in der Menge $A$, aber nicht in der Menge $B$ enthalten sind:

A \setminus B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und } x \notin B \Bigr\}.

Symmetrische Differenz

Hauptartikel: Symmetrische Differenz von Mengen

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. In der symmetrischen Differenz $A \mathop{\triangle} B$ sind alle Elemente enthalten, die entweder nur in der Menge $A$ oder nur in der Menge $B$ enthalten sind:

\begin{align*} A \mathop{\triangle} B &= \bigl( A \setminus B \bigr) \cup \bigl( B \setminus A \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ x \mid \bigl(x \in A \text{ und } x \notin B\bigr) \text{ oder } \bigl(x \notin A \text{ und } x \in B\bigr) \Bigr\}. \end{align*}

Komplement

Hauptartikel: Komplement von Mengen

Gegeben seien eine Menge $A$ und eine Grundmenge $M$ mit $A \subseteq M$. Beim (absoluten) Komplement der Menge $A$ handelt es sich um alle Elemente (der typischerweise nicht jedes Mal separat erwähnten Grundmenge), die außerhalb der Menge $A$ liegen:

A^C = M \setminus A = \Bigl\{ x \mid x \notin A \Bigr\}.

Kartesisches Produkt

Hauptartikel: Kartesisches Produkt

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Das kartesische Produkt $A \times B$ ist die Menge aller Paare $(a,b)$, bei denen $a$ ein Element der Menge $A$ und $b$ ein Element der Menge $B$ ist. Jedes Element aus $A$ wird mit jedem Element aus $B$ kombiniert:

A \times B = \Bigl\{ \bigl(a,b\bigr) \mid a \in A \text{ und } b \in B \Bigr\}.

Potenzmenge

Hauptartikel: Potenzmenge

Gegeben sei eine Menge $A$. Bei der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ handelt es sich um diejenige Menge, die alle Teilmengen von $A$ enthält:

\mathcal{P}(A) = \Bigl\{ X \mid X \subseteq A \Bigr\}.