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Standardbasis

Die Standardbasis (auch Einheitsbasis, kanonische Basis oder natürliche Basis) ist eine spezielle Basis eines Vektorraums, die sich in manchen Fällen bereits durch ihre Konstruktion unter allen existierenden Basen hervorhebt.

Inhalt

Basis (allgemein)
Standardbasis des Koordinatenraums
Standardbasis des Matrizenraums
Standardbasis des Polynomraums

Basis (allgemein)

Hauptartikel: Basis eines Vektorraums

Gegeben sei ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$. Eine Teilmenge $B = \bigl\{ b_1, \ldots, b_n \bigr\} \subseteq V$ wird Basis des Vektorraums $V$ genannt, falls die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Vektoren $b_1,\ldots,b_n$ sind linear unabhängig.
Die Vektoren $b_1,\ldots,b_n$ erzeugen den Vektorraum $V$. Für alle Elemente $v \in V$ existieren (eindeutig bestimmte) Koeffizienten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, sodass gilt: $v = \lambda_1 \cdot b_1 + \ldots + \lambda_n \cdot b_n.$

Die Elemente $b_1,\ldots,b_n$ einer Basis $B$ werden Basisvektoren genannt. Die Koeffizienten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, die bei der Darstellung des Vektors $v$ auftreten, werden Koordinaten des Vektors $v$ bezüglich der Basis $B$ genannt.

Standardbasis des Koordinatenraums

Beim Koordinatenraum (auch Standardraum) handelt es sich um den Vektorraum aller $n$-stelligen Tupel bzw. aller $n$-dimensionaler Vektoren $(v_1,\ldots,v_n) \in \mathcal{K}^n$ über einem Körper $\mathcal{K}$ (mit $n \in \N$).

Unter allen möglichen Basen des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$ kann diejenige Basis $\mathfrak{B}$ besonders ausgezeichnet werden, für die gilt: Die Koordinaten eines beliebigen Vektors $v = (v_1,\ldots,v_n) \in \mathcal{K}^n$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}$ entsprechen genau den Komponenten $v_1,\ldots,v_n$ des Vektors $v$.

Diese Bedingung ist genau für die kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_n$ erfüllt, die an jeweils einer Stelle den Eintrag $1_\mathcal{K}$ und an allen anderen Stellen den Eintrag $0_\mathcal{K}$ besitzen.

e_1 = \begin{pmatrix} 1_\mathcal{K} \\[0.25em] 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} \end{pmatrix},\ e_2 = \begin{pmatrix} 0_\mathcal{K} \\[0.25em] 1_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} \end{pmatrix},\ \ldots,\ e_n = \begin{pmatrix} 0_\mathcal{K} \\[0.25em] 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 1_\mathcal{K} \end{pmatrix}

Für einen beliebigen Vektor $v = (v_1,\ldots,v_n)$ gilt dann stets:

\begin{align*} v &= v_1 \cdot e_1 + \ldots + v_n \cdot e_n \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{n}{v_i \cdot e_i}. \end{align*}

Die kanonischen Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_n$ bilden somit die Standardbasis des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$.

Standardbasis des Matrizenraums

Beim Matrizenraum handelt es sich um den Vektorraum aller $m \times n$ Matrizen $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ über einem Körper $\mathcal{K}$ (mit $m,n \in \N$).

Unter allen möglichen Basen des Matrizenraums $\mathcal{K}^{m \times n}$ kann diejenige Basis $\mathfrak{B}$ besonders ausgezeichnet werden, für die gilt: Die Koordinaten einer beliebigen Matrix $A = \left[a_{ij}\right] \in \mathcal{K}^{m \times n}$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}$ entsprechen genau den Einträgen $a_{11}, \ldots, a_{mn}$ der Matrix $A$.

Diese Bedingung ist genau für die Standardmatrizen $E_{ij}$ erfüllt, die an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag $1_\mathcal{K}$ und an allen anderen Stellen den Eintrag $0_\mathcal{K}$ besitzen.

\begin{align*} E_{11} &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \end{bmatrix} \\[0.75em] E_{12} &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{K} & 1_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \end{bmatrix} \\[0.75em] &\qquad\qquad\quad\ \ \vdots \\[0.75em] E_{mn} &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 0_\mathcal{K} \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \ldots & 1_\mathcal{K} \end{bmatrix} \end{align*}

Für eine beliebige $m \times n$ Matrix $A = \left[a_{ij}\right]$ gilt dann stets:

\begin{align*} A &= \sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot E_{ij}}}. \end{align*}

Die Standardmatrizen $E_{11},\ldots,E_{mn}$ bilden somit die Standardbasis des Matrizenraums $\mathcal{K}^{m \times n}$.

Standardbasis des Polynomraums

Beim Polynomraum handelt es sich um den Vektorraum aller Polynome $p(x) \in \mathcal{K}[x]$ über einem Körper $\mathcal{K}$.

Unter allen möglichen Basen des Polynomraums $\mathcal{K}[x]$ kann diejenige Basis $\mathfrak{B}$ besonders ausgezeichnet werden, für die gilt: Die Koordinaten eines beliebigen Polynoms $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots \in \mathcal{K}[x]$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}$ entsprechen genau den Koeffizienten $a_0, a_1, a_2, \ldots$ des Polynoms $p(x)$.

Diese Bedingung ist konstruktionsbedingt genau für die Monome $1_\mathcal{K},x, x^2, \ldots$ erfüllt. Für ein beliebiges Polynom $p(x)$ gilt stets:

\begin{align*} p(x) &= a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots \\[0.5em] &= \sum{a_kx^k}. \end{align*}

Die Monome $1_\mathcal{K},x,x^2,\ldots$ bilden somit die (unendliche) Standardbasis des Polynomraums $\mathcal{K}[x]$.