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Standardmatrix

Eine Standardmatrix (auch Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit) ist eine Matrix, bei der genau ein Eintrag Eins ist und alle anderen Einträge Null sind.

Standardmatrizen bilden die Standardbasis des Matrizenraums und finden unter anderem bei der Definition von Elementarmatrizen und beim Gaußschen Eliminationsverfahren Anwendung.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie ein Ring mit Eins oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ handelt es sich um die $m \times n$ Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag Eins und an allen anderen Stellen den Eintrag Null besitzt. Für die Einträge $e_{k\ell}$ (mit $1 \leq k \leq m$ und $1 \leq \ell \leq n$) der Matrix gilt somit

e_{k\ell} = \begin{cases} 1_\mathcal{R} & \text{falls } k=i \text{ und } \ell=j \\[0.5em] 0_\mathcal{R} & \text{sonst}. \end{cases}

Eine Standardmatrix wird auch als Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit bezeichnet.

Beispiele

Bei den folgenden Matrizen handelt es sich exemplarisch um einige ganzzahlige $2 \times 3$ Standardmatrizen.

\begin{align*} E_{11} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\[0.75em] E_{13} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\[0.75em] E_{22} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Darstellung als dyadisches Produkt

Die Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ kann als dyadisches Produkt der kanonischen Einheitsvektoren $e_i \in \mathcal{R}^m$ und $e_j \in \mathcal{R}^n$ dargestellt werden.

\begin{align*} E_{ij} &= e_i \otimes e_j \\[0.5em] &= e_i \cdot e_j^T \end{align*}

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix der Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ ist die Standardmatrix

E_{ij}^T = E_{ji} \in \mathcal{R}^{n \times m}.

Symmetrie

Für die Symmetrie einer Standardmatrix gilt:

Die Standardmatrix $E_{ii} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ ist eine symmetrische Matrix.
Alle anderen Standardmatrizen sind nicht symmetrisch.

Produkte von Standardmatrizen

Die Matrizenmultiplikation zweier Standardmatrizen $E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ und $E_{k\ell} \in \mathcal{R}^{n \times p}$ liefert

E_{ij} \cdot E_{k\ell} = \begin{cases} E_{i\ell} & \text{falls } j=k \\[0.5em] 0_{mp} & \text{sonst}. \end{cases}

Bei $0_{mp}$ handelt es sich um die $m \times p$ Nullmatrix.

Determinante

Für die Determinante der (quadratischen) Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:

\det(E_{ij}) = \begin{cases} 1_\mathcal{R} & \text{falls } n=1 \\[0.5em] 0_\mathcal{R} & \text{sonst}. \end{cases}

Spur

Für die Spur der (quadratischen) Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:

\spur(E_{ij}) = \begin{cases} 1_\mathcal{R} & \text{falls } i=j \\[0.5em] 0_\mathcal{R} & \text{sonst}. \end{cases}

Rang

Für den Rang der Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt:

\rg(E_{ij}) = 1.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Für das charakteristische Polynom der (quadratischen) Standardmatrix $E_{ij} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:

\chi_{E_{ij}}(\lambda) = \begin{cases} \lambda^{n-1} \cdot (\lambda-1) & \text{falls } i=j \\[0.5em] \lambda^n & \text{sonst}. \end{cases}

Für die Eigenwerte von $E_{ij}$ gilt somit:

Für den Fall $i \neq j$ ist der einzige Eigenwert $0_\mathcal{R}$.
Für den Fall $i = j$ existiert zudem der Eigenwert $1_\mathcal{R}$ mit einfacher Vielfachheit. Der zu diesem Eigenwert gehörende Eigenvektor ist der Einheitsvektor $e_i$.

Anwendungen

Einträge einer Matrix

Mithilfe der Standardmatrix $E_{ji} \in \mathcal{R}^{n \times m}$ kann ein einzelner Eintrag $a_{ij}$ einer Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ (mit $1 \leq i \leq m$ und $1 \leq j \leq n$) als Spur dargestellt werden.

a_{ij} = \spur(A \cdot E_{ji}) = \spur(E_{ji} \cdot A)

Dies kann ebenfalls auf das Produkt zweier Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times p}$ und $B \in \mathcal{R}^{p \times n}$ übertragen werden.

{(AB)}_{ij} = \spur(B \cdot E_{ji} \cdot A)

Standardbasis

Die Menge der Standardmatrizen

\Bigl\{ E_{ij} \in \mathcal{R}^{m \times n} \mid 1 \leq i \leq m \wedge 1 \leq j \leq n \Bigr\}

bildet die Standardbasis des Matrizenraums der $m \times n$ Matrizen.

Jede Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ kann als Linearkombination von Standardmatrizen dargestellt werden.

A = \sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij} E_{ij}}}

Elementarmatrizen

Die Standardmatrizen können zur Darstellung von Elementarmatrizen verwendet werden.

\begin{align*} T_{ij} &= E - E_{ii} - E_{jj} + E_{ij} + E_{ji} \\[0.5em] T_i(\lambda) &= E + (\lambda-1) E_{ii} \\[0.5em] T_{ij}(m) &= E + mE_{ij} \\[0.5em] \end{align*}

Bei $E$ handelt es sich hierbei um die Einheitsmatrix und bei $m,\lambda \in \mathcal{R}$ handelt es sich um Skalare aus dem zugrundeliegenden Ring oder Körper.

Elementarmatrizen finden unter anderem beim gaußschen Eliminationsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Anwendung.