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Koordinatenraum

Beim Koordinatenraum (auch Standardraum oder Standardvektorraum) handelt es sich um den Vektorraum der Vektoren fester Größe über einem Körper. Bei den Verknüpfungen des Koordinatenraums handelt es sich um die Vektoraddition sowie die skalare Multiplikation von Vektoren. Bei der Standardbasis handelt es sich um die kanonischen Einheitsvektoren. Die Dimension des Koordinatenraums entspricht der Dimension der enthaltenen Vektoren.

Inhalt

Definition
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Körper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Beim Koordinatenraum $\bigl( \mathcal{K}^n, +, \cdot \bigr)$ handelt es sich um einen Vektorraum, der aus der Menge

\mathcal{K}^n = \left\{ \left. \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}\ \right\vert\ v_1,\ldots,v_n \in \mathcal{K} \right\}

aller $n$-dimensionaler Vektoren über dem Körper $\mathcal{K}$ besteht. Bei den Verknüpfungen des Koordinatenraums handelt es sich um die gewöhnliche Vektoraddition

\begin{array}{c} +: \mathcal{K}^n \times \mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{K}^n \\[0.5em] u + v = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ \vdots \\ u_n+v_n \end{pmatrix} \end{array}

und die skalare Multiplikation von Vektoren

\begin{array}{c} \cdot: \mathcal{K} \times \mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{K}^n \\[0.5em] \lambda \cdot v = \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot v_n \end{pmatrix}. \end{array}

Hinweis: Der Koordinatenraum $\mathcal{K}^n$ wird auch Standardraum oder Standardvektorraum der Dimension $n$ genannt.

Eigenschaften

Vektorraum-Eigenschaften

Für die Vektoraddition $+$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die Vektoraddition nachgelesen werden.)

Die Verknüpfung $+$ ist assoziativ; für Vektoren $u,v,w \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\bigl( u + v \bigr) + w = u + \bigl( v + w \bigr).$
Der Nullvektor $0$ ist das neutrale Element der Vektoraddition; für alle $v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\[ 0 + v = v = v + 0. \]$
Der Vektor $-v$ ist das additive inverse Element des Vektors $v \in \mathcal{K}^n$; es gilt: $\bigl( -v \bigr) + v = 0 = v + \bigl( -v \bigr).$
Die Verknüpfung $+$ ist kommutativ; für Vektoren $u,v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\[ u+v = v+u. \]$

Für die skalare Multiplikation von Vektoren $\cdot$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die skalare Multiplikation von Vektoren nachgelesen werden.)

Die Verknüpfung $\cdot$ ist assoziativ; für $\lambda,\mu \in \mathcal{K}$ und $v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot v = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot v \bigr).$
Das Skalar $1_\mathcal{K}$ – das Einselement des Körpers $\mathcal{K}$ – ist das (links-)neutrale Element der skalaren Multiplikation von Vektoren; für $v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $1_\mathcal{K} \cdot v = v.$
Die skalare Multiplikation von Vektoren ist (links-)distributiv über der Vektoraddition; für $\lambda \in \mathcal{K}$ und $u, v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\lambda \cdot \bigl( u + v \bigr) = \bigl( \lambda \cdot u \bigr) + \bigl( \lambda \cdot v \bigr).$
Die skalare Multiplikation von Vektoren ist (rechts-)distributiv über der Addition von Skalaren; für $\lambda, \mu \in \mathcal{K}$ und $v \in \mathcal{K}^n$ gilt: $\bigl( \lambda + \mu \bigr) \cdot v = \bigl( \lambda \cdot v \bigr) + \bigl( \mu \cdot v \bigr).$

Dimension und Basis

Bei der Standardbasis des Koordinatenraums handelt es sich um die Menge der kanonischen Einheitsvektoren $e_i$ (für $1 \leq i \leq n$), die an der Stelle $i$ den Eintrag $1_\mathcal{K}$ und an allen anderen Stellen den Eintrag $0_\mathcal{K}$ besitzen. Jeder Vektor $v \in \mathcal{K}^n$ kann wie folgt als Linearkombination der kanonischen Einheitsvektoren dargestellt werden:

v = \sum\limits_{i=1}^{n}{v_i \cdot e_i}.

Für die Dimension des Koordinatenraums ergibt sich somit implizit

\dim\left(\mathcal{K}^n\right) = n,

also die Anzahl der Elemente der Vektoren des Koordinatenraums.

Hinweis: Mithilfe einer Basistransformation kann die Standardbasis in weitere Basen für den Koordinatenraum überführt werden.

Bei den Zeilen- oder Spaltenvektoren einer $n \times n$ Matrix handelt es sich genau dann um eine Basis des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$, wenn es sich um eine reguläre Matrix handelt, wenn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix also linear unabhängig sind und die Matrix somit vollen Rang besitzt.

Lineare Abbildungen

Eine lineare Abbildung $f: \mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{K}^m$ zwischen zwei Koordinatenräumen $\mathcal{K}^n$ und $\mathcal{K}^m$ kann stets mithilfe einer eindeutig bestimmten Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ dargestellt werden; es gilt:

\begin{array}{c} f: \mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{K}^m \\[0.5em] v \mapsto A \cdot v. \end{array}

Die Spalten der Abbildungsmatrix $A$ entsprechen hierbei den Bildern der Standardbasisvektoren des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$, d. h., es gilt:

A = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] f(e_1) & \ldots & f(e_n) \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix}.

Umgekehrt gehört zu jeder $m \times n$ Matrix stets eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{K}^m$.

Hinweis: Die Menge der $m \times n$ Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der skalaren Multiplikation von Matrizen den Matrizenraum.

Isomorphie

Ein beliebiger $n$-dimensionaler Vektorraum $\mathcal{V}$ über einem Körper $\mathcal{K}$ ist stets isomorph zum Koordinatenraum $\mathcal{K}^n$.

\mathcal{V} \cong \mathcal{K}^n

Sei $\mathfrak{B}_\mathcal{V} = \bigl\{ b_1, \ldots, b_n \bigr\}$ eine Basis des Vektorraums $\mathcal{V}$. Jedes Element $v \in \mathcal{V}$ kann dann als eindeutig bestimmte Linearkombination

v = \lambda_1 b_1 + \ldots + \lambda_n b_n

der Basisvektoren $b_1,\ldots,b_n$ dargestellt werden (mit $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{K}$). Jedes $v \in \mathcal{V}$ kann folglich durch ein eindeutig bestimmtes Tupel $\bigl( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \bigr) \in \mathcal{K}^n$ repräsentiert werden. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren $b_1, \ldots, b_n$ entspricht umgekehrt jedes Koordinatentupel $\bigl( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \bigr)$ einem eindeutig bestimmten Element aus $\mathcal{V}$. Die Abbildung

\begin{array}{c} \mathcal{K}^n \rightarrow \mathcal{V} \\[0.5em] \bigl( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \bigr) \mapsto \lambda_1b_1 + \ldots + \lambda_n b_n \end{array}

ist somit bijektiv. Da die Abbildung darüber hinaus linear ist, handelt es sich um einen Isomorphismus zwischen dem Koordinatenraum $\mathcal{K}^n$ und dem Vektorraum $\mathcal{V}$.

Hinweis: Aus der Isomorphie des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$ und eines beliebigen $n$-dimensionalen Vektorraums $\mathcal{V}$ über demselben Körper $\mathcal{K}$ folgt unmittelbar, dass alle $n$-dimensionalen Vektorräume über demselben Körper isomorph zueinander sind.