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Erzeugendensystem

Bei einem Erzeugendensystem handelt es sich um eine Teilmenge eines Vektorraums, aus der alle Elemente des Vektorraums erzeugt werden können – bei der linearen Hülle des Erzeugendensystems handelt es sich also um den Vektorraum selbst.

Definition

Gegeben seien ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ sowie eine Teilmenge $A \subseteq V$. Die Teilmenge $A$ wird Erzeugendensystem von $V$ genannt, falls jeder Vektor $v \in V$ als Linearkombination der Vektoren aus $A$ dargestellt werden kann, d. h., falls gilt (mit $n \in \N_0$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in K$ und $a_1,\ldots,a_n \in A$):

v = \lambda_1 \cdot a_1 + \ldots + \lambda_n \cdot a_n

Hinweis: Diese Darstellung ist im Allgemeinen nicht eindeutig, wenn die Vektoren aus $A$ nicht linear unabhängig sind.

Beispiele

Koordinatenraum

Ein mögliches Erzeugendensystem des Koordinatenraums $K^n$ besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren:

e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix},\ e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix},\ \ldots, e_n = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 1 \end{pmatrix}.

Jeder Vektor $v = (v_1,\ldots,v_n) \in V$ lässt sich auf die folgende Art als Linearkombination der Vektoren $e_1,\ldots,e_n$ darstellen:

v = v_1 \cdot e_1 + \ldots + v_n \cdot e_n.

Werden zu einem Erzeugendensystem eines Vektorraums $V$ weitere Vektoren aus $V$ hinzugenommen, so handelt es sich bei der so erhaltenen Menge von Vektoren ebenfalls um ein Erzeugendensystem von $V$.

Es existieren ebenfalls Erzeugendensysteme, die die kanonischen Einheitsvektoren nicht enthalten. Beispielsweise kann $V = \R^2$ durch die beiden Vektoren $b_1 = (1,2)$ und $b_2 = (2,-1)$ erzeugt werden. Für alle Vektoren $v = (v_1,v_2) \in V$ gilt dann:

v = \left( \frac{1}{5} \cdot v_1 + \frac{2}{5} \cdot v_2 \right) \cdot b_1 + \left( \frac{2}{5} \cdot v_1 - \frac{1}{5} \cdot v_2 \right) \cdot b_2.

Polynomraum

Hauptartikel: Polynomraum

Der Polynomraum derjenigen Polynome, die höchstens den Grad $n$ besitzen, kann beispielsweise durch die Menge

A = \Bigl\{ 1, x, x^2, \ldots, x^n \Bigr\}

erzeugt werden.

Nullvektorraum

Hauptartikel: Nullvektorraum

Der Nullvektorraum $\bigl\{ 0 \bigr\}$, der nur aus dem Nullvektor $0$ besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

A = \emptyset \quad\text{und}\quad B = \bigl\{ 0 \bigr\}.

Es handelt sich bei der leeren Menge $\emptyset$ um ein Erzeugendensystem des Nullvektorraums, da per Definition die leere Summe von Vektoren den Nullvektor ergibt.

Minimales Erzeugendensystem

Ein Erzeugendensystem $A \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ heißt minimal, falls kein Vektor $a \in A$ existiert, so dass $A \setminus \bigl\{ a \bigr\}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

Ein minimales Erzeugendensystem $A$ besteht stets aus linear unabhängigen Vektoren. Wären die Vektoren in $A$ nicht linear unabhängig, so gäbe es einen Vektor $a \in A$, der sich als Linearkombination der Vektoren in $A \setminus \bigl\{ a \bigr\}$ darstellen lässt. In diesem Fall ließe sich jedoch auch jede Linearkombination, in der der Vektor $a$ vorkommt, ebenfalls als Linearkombination der Vektoren in $A \setminus \bigl\{ a \bigr\}$ darstellen – im Widerspruch zur geforderten Minimalität.

Bei jedem minimalen Erzeugendensystem handelt es sich um eine Basis des erzeugten Vektorraums.

Lineare Hülle

Hauptartikel: Lineare Hülle

Die Menge aller Linearkombinationen, die durch ein Erzeugendensystem $A$ erzeugt werden, wird lineare Hülle von $A$ genannt und mit $\Lin(A)$ oder $\span(A)$ bezeichnet.