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Dreiecksmatrix

Bei einer Dreiecksmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente oberhalb (untere Dreiecksmatrix) bzw. unterhalb (obere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonalen gleich Null sind. Sind darüber hinaus auch die Elemente auf der Hauptdiagonalen Null, so handelt es sich um eine echte oder strikte Dreiecksmatrix.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Obere Dreiecksmatrix

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix $U \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit

U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & u_{22} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & u_{n-1,n} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & u_{nn} \end{bmatrix},

bei der alle Einträge $u_{ij}$ mit $i \gt j$, also alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen, gleich $0_\mathcal{R}$ sind.

Hinweis: Die typische Schreibweise $U$ für die obere Dreiecksmatrix resultiert aus der englischen Bezeichnung upper matrix.

Untere Dreiecksmatrix

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix $L \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit

L = \begin{bmatrix} \ell_{11} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \ell_{21} & \ell_{22} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \ell_{n1} & \cdots & \ell_{n,n-1} & \ell_{nn} \end{bmatrix},

bei der alle Einträge $\ell_{ij}$ mit $i \lt j$, also alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen, gleich $0_\mathcal{R}$ sind.

Hinweis: Die typische Schreibweise $L$ für die untere Dreiecksmatrix resultiert aus der englischen Bezeichnung lower matrix.

Normierte Dreiecksmatrix

Eine normierte Dreiecksmatrix ist eine Dreiecksmatrix, bei der alle Hauptdiagonalelemente $1_\mathcal{R}$ sind.

Strikte bzw. echte Dreiecksmatrix

Eine strikte bzw. echte Dreiecksmatrix ist eine Dreiecksmatrix, bei der alle Hauptdiagonalelemente $0_\mathcal{R}$ sind.

Beispiele

Bei der folgenden Matrix $A \in \Z^{3 \times 3}$ handelt es sich um eine (normierte) obere Dreiecksmatrix.

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\[0.25em] 0 & 1 & 4 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix $B \in \Z^{4 \times 4}$ handelt es sich um eine untere Dreiecksmatrix.

B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 5 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 2 & 1 & 2 & 0 \\[0.25em] 9 & 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}

Beispiel 3

Bei der folgenden Matrix $C \in \Z^{2 \times 2}$ handelt es sich sowohl um eine untere als auch um eine obere Dreiecksmatrix.

C = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 \end{bmatrix}

Eigenschaften

Produkte von Dreiecksmatrizen

Für die Multiplikation von Dreiecksmatrizen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

Das Produkt zweier unterer (oberer) Dreiecksmatrizen ist eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
Das Produkt zweier strikter unterer (oberer) Dreiecksmatrizen ist eine strikte untere (obere) Dreiecksmatrix.

Inverse Matrix

Eine Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keines der Hauptdiagonalelemente $0_\mathcal{R}$ ist, wenn also alle Hauptdiagonalelemente ein multiplikatives inverses Element besitzen.

Die inverse Matrix einer unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine untere (obere) Dreiecksmatrix.

Transponierte Matrix

Für die transponierte Matrix einer Dreiecksmatrix gilt:

Die Transponierte einer (strikten) unteren Dreiecksmatrix ist eine (strikte) obere Dreiecksmatrix.
Die Transponierte einer (strikten) oberen Dreiecksmatrix ist eine (strikte) untere Dreiecksmatrix.

Determinante

Die Determinante einer Dreiecksmatrix $A$ entspricht dem Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.

\begin{align*} \det(A) &= \prod\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}} \\[0.5em] &= a_{11} \cdot \ldots \cdot a_{nn} \end{align*}

Eigenwerte

Für das charakteristische Polynom einer Dreiecksmatrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:

\begin{align*} \chi_A(\lambda) &= \prod_{i=1}^{n}{\bigl( \lambda - a_{ii} \bigr)} \\[0.5em] &= \bigl( \lambda-a_{11} \bigr) \cdot \ldots \cdot \bigl( \lambda-a_{nn} \bigr). \end{align*}

Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind folglich die Hauptdiagonalelemente selbst. Die (algebraische) Vielfachheit der Eigenwerte entspricht der Anzahl, wie oft die jeweiligen Werte auf der Hauptdiagonalen vorkommen.