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Betrag (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Betragsfunktion (abgekürzt: abs, |x|) lässt sich durch intervallweise Integration mithilfe einer Fallunterscheidung der Betragsfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für Potenzen der Betragsfunktion.

Grundlagen

Die Betragsfunktion ist eine der grundlegenden Basisfunktionen. Sie ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ |x| = \begin{cases} -x & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \phantom{-}x & (\text{für } x \geq 0) \end{cases} \]

Integrationsregeln

Die Stammfunktion der Betragsfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{|x|\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot x \cdot |x| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sgn(x) \cdot x^2 + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Betragsfunktion mit reellen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{{|x|}^{-1}\ dx} &= \sgn(x) \cdot \ln|x| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{{|x|}^n\ dx} &= \frac{1}{n+1} \cdot x \cdot {|x|}^n + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{1}{n+1} \cdot \sgn(x) \cdot {|x|}^{n+1} + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\sgn$ handelt es sich um die Vorzeichenfunktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Betragsfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = |4x| \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=4x$ substituiert, woraus sich $dt = 4\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{4}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{|4x|\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \int{|t|\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot t \cdot |t| \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot 4x \cdot |4x| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 \cdot |x| \\[0.75em] &= 2x \cdot |x| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Betragsfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \bigl| x^2 - 1 \bigr| \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2-1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\bigl| x^2 - 1 \bigr| \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{|t|\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot t \cdot |t| \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigl(x^2 - 1\bigr) \cdot \bigl| x^2 - 1 \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Betragsfunktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = {\bigl| 2x+1 \bigr|}^{-5} \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $h(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=2x+1$ substituiert, woraus sich $dt = 2\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{{\bigl| 2x+1 \bigr|}^{-5}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{{|t|}^{-5}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-5)+1} \cdot t \cdot {|t|}^{-5+1} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot t \cdot {|t|}^{-4} \\[0.75em] &= -\frac{1}{8} \cdot t \cdot {|t|}^{-4} \\[0.75em] &= -\frac{1}{8} \cdot \bigl(2x+1\bigr) \cdot {\bigl|2x+1\bigr|}^{-4} + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von abs(x) bzw. |x|

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Betragsfunktion erfolgt mithilfe einer Fallunterscheidung. Da die Betragsfunktion stückweise definiert ist, werden beide Fälle zunächst separat integriert und die Ergebnisse anschließend zu einer gemeinsamen Formel zusammengeführt.

Fall 1: x ≥ 0

Für $x \geq 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden.

\begin{align*} \int{|x|\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{x\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot x^2 + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \geq 0$
(2)

Fall 2: x < 0

Für $x \lt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe der Faktorregel für Integrale und der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden.

\begin{align*} \int{|x|\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{-x\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\int{x\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{2} \cdot x^2 + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \lt 0$
(2)
(3)
  • Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Zusammenführung beider Fälle

Die gefundenen Lösungen gelten jeweils nur für ihren Fall. Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\[ \int{|x|\ dx} = \begin{cases} -\frac{1}{2} \cdot x^2 + \mathcal{C} & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \phantom{-}\frac{1}{2} \cdot x^2 + \mathcal{C} & (\text{für } x \geq 0) \end{cases} \]

Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Vorzeichen: $+1$ für $x \geq 0$ und $-1$ für $x \lt 0$. Dies kann mithilfe der Betragsfunktion wie folgt zusammenfassend dargestellt werden:

\[ \int{|x|\ dx} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot |x| + \mathcal{C} \]

Mithilfe der Vorzeichenfunktion lässt sich dies alternativ auch wie folgt darstellen:

\[ \int{|x|\ dx} = \frac{1}{2} \cdot \sgn(x) \cdot x^2 + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von abs-1(x) bzw. |x|-1

Die Herleitung der Integrationsregel für $|x|^{-1} = \frac{1}{|x|}$ erfolgt ebenfalls mithilfe einer Fallunterscheidung. (Hinweis: Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und somit an dieser Stelle nicht integrierbar.)

Fall 1: x > 0

Für $x \gt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend bestimmt werden.

\begin{align*} \int{{|x|}^{-1}\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{|x|}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \ln|x| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen Exponenten
(2)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \geq 0$
(3)

Fall 2: x < 0

Für $x \lt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend bestimmt werden.

\begin{align*} \int{{|x|}^{-1}\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{|x|}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{-x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\int{\frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\ln|x| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \lt 0$
(3)
(4)
  • Auflösen des Integrals mithilfe der Umkehrung der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Zusammenführung beider Fälle

Die gefundenen Lösungen gelten jeweils nur für ihren Fall. Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\[ \int{{|x|}^{-1}\ dx} = \begin{cases} -\ln|x| + \mathcal{C} & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \phantom{-}\ln|x| + \mathcal{C} & (\text{für } x \gt 0) \end{cases} \]

Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Vorzeichen: $+1$ für $x \gt 0$ und $-1$ für $x \lt 0$. Dies kann mithilfe der Vorzeichenfunktion wie folgt zusammenfassend dargestellt werden:

\[ \int{{|x|}^{-1}\ dx} = \sgn(x) \cdot \ln|x| + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von absn(x) bzw. |x|n

Für reelle Exponenten $n \in \R$ mit $n \neq -1$ können Potenzen der Betragsfunktion mithilfe einer Fallunterscheidung integriert und die Ergebnisse anschließend zu einer gemeinsamen Formel zusammengeführt werden.

Fall 1: x ≥ 0

Für $x \geq 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden.

\begin{align*} \int{|x|^n\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{x^n\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \geq 0$
(2)

Fall 2: x < 0

Für $x \lt 0$ kann der Betrag sauber aufgelöst und das Integral anschließend mithilfe von Integration durch Substitution, der Faktorregel für Integrale und der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmt werden.

\begin{align*} \int{|x|^n\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{{(-x)}^n\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{t^n \cdot (-1)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\int{t^n\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{n+1} \cdot t^{n+1} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\frac{1}{n+1} \cdot {(-x)}^{n+1} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Auflösen des Betrags für den Fall $x \lt 0$
(2)
  • Anwenden von Integration durch Substitution
  • Ersetzen von $t = -x$
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion ergibt sich:
    \begin{align*} dt &= -1\ dx \\[0.75em] \Rightarrow\quad dx &= -1\ dt \end{align*}
(3)
  • Herausziehen des Faktors $−1$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
(4)
  • Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion
(5)
  • Resubstitution von $t = -x$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Zusammenführung beider Fälle

Die gefundenen Lösungen gelten jeweils nur für ihren Fall. Als Gesamtlösung ergibt sich somit zunächst die folgende Fallunterscheidung:

\[ \int{{|x|}^n\ dx} = \begin{cases} -\frac{1}{n+1} \cdot {(-x)}^{n+1} + \mathcal{C} & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + \mathcal{C} & (\text{für } x \geq 0) \end{cases} \]

Die beiden Formeln unterscheiden sich in der Basis der Potenz: $+x$ für $x \geq 0$ und $-x$ für $x \lt 0$, was in beiden Fällen dem Betrag $|x|$ von $x$ entspricht. Somit gilt:

\[ \int{{|x|}^n\ dx} = \begin{cases} -\frac{1}{n+1} \cdot {|x|}^{n+1} + \mathcal{C} & (\text{für } x \lt 0) \\[0.75em] \frac{1}{n+1} \cdot {|x|}^{n+1} + \mathcal{C} & (\text{für } x \geq 0) \end{cases} \]

Die Formeln unterscheiden sich darüber hinaus nur im Vorzeichen: $+1$ für $x \geq 0$ und $-1$ für $x \lt 0$. Dies kann mithilfe der Betragsfunktion wie folgt zusammenfassend dargestellt werden:

\[ \int{{|x|}^n\ dx} = \frac{1}{n+1} \cdot x \cdot {|x|}^n + \mathcal{C} \]

Mithilfe der Vorzeichenfunktion lässt sich dies alternativ auch wie folgt darstellen:

\[ \int{{|x|}^n\ dx} = \frac{1}{n+1} \cdot \sgn(x) \cdot {|x|}^{n+1} + \mathcal{C} \]