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Division von Brüchen

Bei der Division von Brüchen wird der Quotient von zwei Brüchen berechnet, indem die Division auf die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors zurückgeführt wird. Die Division von Brüchen ist nicht assoziativ und nicht kommutativ. Es gibt kein neutrales Element der Division; inversen Elemente existieren nicht.

Dieser Artikel konzentriert sich auf das Rechnen mit Brüchen. Formale Details zur Division von rationalen Zahlen können im Artikel zur Division von rationalen Zahlen nachgelesen werden.

Definition

Gegeben seien zwei Brüche (mit $a,b,c,d \in \Z$, $b \neq 0$, $c \neq 0$ und $d \neq 0$):

r_1 = \frac{a}{b}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{c}{d}.

Die Division von Brüchen kann auf die Multiplikation von Brüchen zurückgeführt werden, indem der Dividend (der erste Bruch) mit dem Kehrwert bzw. Reziproken des Divisors (der zweite Bruch) multipliziert wird. Für den Quotienten von Brüchen ergibt sich somit:

\begin{align*} r_1 : r_2 &= \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \\[0.75em] &= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \\[0.75em] &= \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \end{align*}

Hinweis: Gemeinsame Faktoren, die sowohl im Zähler des ersten Faktors als auch im Nenner des Kehrwerts auftreten, sowie Faktoren, die sowohl im Nenner des ersten Faktors als auch im Zähler des Kehrwerts auftreten, können vor dem Multiplizieren über Kreuz gekürzt werden. Auf diese Weise kann der Rechenaufwand reduziert werden, da die resultierenden Werte so klein wie möglich bleiben.

Beispiele

Beispiel 1: Division von zwei Brüchen

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Brüchen berechnet. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{2}{3}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{7}{5}.

Die Division durch den Bruch $\frac{7}{5}$ kann auf die Multiplikation mit dem Kehrwert $\frac{5}{7}$ zurückgeführt werden. Für den gesuchten Quotienten ergibt sich:

\begin{align*} r_1 : r_2 &= \frac{2}{3} : \frac{7}{5} \\[0.75em] &= \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \\[0.75em] &= \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} \\[0.75em] &= \frac{10}{21} \end{align*}

Beispiel 2: Division von zwei kürzbaren Brüchen

Im zweiten Beispiel werden zwei Brüche dividiert, die bereits während der Berechnung des Quotienten vereinfacht werden können. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{3}{5}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{9}{10}.

Die Division durch den Bruch $\frac{9}{10}$ kann auf die Multiplikation mit dessen Reziproken $\frac{10}{9}$ zurückgeführt werden. Bevor die Brüche tatsächlich multipliziert werden, können diese zunächst über Kreuz gekürt werden, da die Zähler und Nenner die gemeinsamen Faktoren $3$ bzw. $5$ enthalten. Auf diese Weise kann der zu berechnende Ausdruck bereits vor dem Ausrechnen vereinfacht werden. Für den gesuchten Quotienten ergibt sich somit:

\begin{align*} \require{cancel} r_1 : r_2 &= \frac{3}{5} : \frac{9}{10} \\[0.75em] &= \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} \\[0.75em] &= \frac{{\color{blue} \cancelto{1}{3}}}{{\color{orange} \cancelto{1}{5}}} \cdot \frac{{\color{orange} \cancelto{2}{10}}}{{\color{blue} \cancelto{3}{9}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} \\[0.75em] &= \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} \\[0.75em] &= \frac{2}{3} \end{align*}

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Division von Brüchen ist nicht assoziativ. Für Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt im Allgemeinen:

\bigl( r_1 : r_2 \bigr) : r_3 \neq r_1 : \bigl( r_2 : r_3 \bigr).

Der Beweis der Nichtassoziativität der Division von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen:

r_1 = \frac{1}{2},\ \ r_2 = \frac{1}{3}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{1}{4}.

Für die Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt

\begin{align*} \bigl( r_1 : r_2 \bigr) : r_3 &= \underbrace{\left( \frac{1}{2} : \frac{1}{3} \right)}_{=\ \frac{3}{2}} : \frac{1}{4} \\[0.5em] &= 6 \\[1.5em] r_1 : \bigl( r_2 : r_3 \bigr) &= \frac{1}{2} : \underbrace{\left( \frac{1}{3} : \frac{1}{4} \right)}_{=\ \frac{4}{3}} \\[0.5em] &= \frac{3}{8}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von Brüchen folgt.

Nichtkommutativität

Die Division von Brüchen ist nicht kommutativ. Für Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt im Allgemeinen:

r_1 : r_2 \neq r_2 : r_1.

Der Beweis der Nichtkommutativität der Division von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen

r_1 = \frac{1}{2}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{1}{3}.

Für die Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt:

\begin{align*} r_1 : r_2 &= \frac{3}{2} \\[0.5em] r_2 : r_1 &= \frac{2}{3}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von Brüchen folgt.

Distributivität

Die Division von Brüchen ist rechtsdistributiv über der Addition von Brüchen und der Subtraktion von Brüchen. Für Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:

\bigl( r_1 \pm r_2 \bigr) : r_3 = r_1 : r_3 \pm r_2 : r_3.

Der Beweis der Rechtsdistributivität der Division von Brüchen über der Addition und Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen (mit $p_1,p_2,p_3,q_1,q_2,q_3 \in \Z$, $q_1 \neq 0$, $q_2 \neq 0$, $q_3 \neq 0$ und $p_3 \neq 0$):

r_1 = \frac{p_1}{q_1},\ \ r_2 = \frac{p_2}{q_2}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{p_3}{q_3}.

Die Rechtsdistributivität kann für den Quotienten aus der Summe bzw. Differenz $r_1 \pm r_2$ und dem Bruch $r_3$ wie folgt gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl( r_1 \pm r_2 \bigr) : r_3 &\overset{(1)}{=} \left( \frac{p_1}{q_1} \pm \frac{p_2}{q_2} \right) : \frac{p_3}{q_3} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \left( \frac{p_1}{q_1} \pm \frac{p_2}{q_2} \right) \cdot \frac{q_3}{p_3} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{p_1q_2 \pm q_1p_2}{q_1q_2} \cdot \frac{q_3}{p_3} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{\bigl( p_1q_2 \pm q_1p_2 \bigr) \cdot q_3}{q_1q_2p_3} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{p_1q_2q_3 \pm q_1p_2q_3}{q_1q_2p_3} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{p_1\cancel{q_2}q_3}{q_1\cancel{q_2}p_3} \pm \frac{\cancel{q_1}p_2q_3}{\cancel{q_1}q_2p_3} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{p_1q_3}{q_1p_3} \pm \frac{p_2q_3}{q_2p_3} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_3}{p_3} \pm \frac{p_2}{q_2} \cdot \frac{q_3}{p_3} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{p_1}{q_1} : \frac{p_3}{q_3} \pm \frac{p_2}{q_2} : \frac{p_3}{q_3} \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} r_1 : r_3 \pm r_2 : r_3 \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$ durch die entsprechenden Quotienten von ganzen Zahlen
(2)	Zurückführen der Division auf die Multiplikation mit dem Kehrwert
(3)	Ausrechnen von $r_1 \pm r_2$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Brüchen
(4)	Ausrechnen des Produkts gemäß Definition der Multiplikation von Brüchen
(5)	Für die ganzzahlige Multiplikation gilt in Kombination mit der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Subtraktion das Distributivgesetz, woraus unmittelbar die Gleichheit von $(p_1q_2 \pm q_1p_2) \cdot q_3$ und $p_1q_2q_3 \pm q_1p_2q_3$ folgt
(6)	Aufteilen des Terms auf zwei separate Brüche mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Brüchen
(7)	Kürzen von $q_2$ im vorderen Bruch Kürzen von $q_1$ im hinteren Bruch
(8)	Aufteilen des Produkts $r_1 \cdot \frac{1}{r_3}$ auf zwei separate Faktoren $r_1$ und $\frac{1}{r_3}$ mithilfe der Definition der Multiplikation von Brüchen Analog: Aufteilen des Produkts $r_2 \cdot \frac{1}{r_3}$ auf zwei separate Faktoren $r_2$ und $\frac{1}{r_3}$
(9)	Ersetzen der Multiplikation mit dem Kehrwert durch die ursprüngliche Division
(10)	Ersetzen der Quotienten durch die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von Brüchen. Die Zahl $1$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element eines Bruchs $r$ bezüglich der Division von Brüchen existiert im Allgemeinen nicht.