Idempotente Abbildung
Bei einer idempotenten Abbildung bzw. einer idempotenten Funktion handelt es sich um eine Abbildung einer Menge auf sich selbst, die die besondere Eigenschaft besitzt, dass die Verkettung der Abbildung mit sich selbst wieder die ursprüngliche Abbildung ergibt.
Definition
Gegeben sei eine Menge $A$ sowie eine Abbildung $f: A \rightarrow A$ dieser Menge auf sich selbst. Die Abbildung bzw. Funktion $f$ heißt idempotent, falls gilt:
d. h. falls für alle $a \in A$ gilt:
Bei $\circ$ handelt es sich wie üblich um die Verkettung bzw. Komposition von Funktionen.
Eine idempotente Abbildung bzw. idempotente Funktion ist folglich ein idempotentes Element des Monoids aller Abbildungen $A \to A$ bezüglich der Komposition $\circ$ von Funktionen.
Eigenschaften
Fixpunkte
Gegeben sei eine Abbildung $f: A \to A$. Ein Element $a \in A$ wird Fixpunkt von $f$ genannt, falls $f(a) = a$ gilt.
Für die Fixpunkte einer idempotenten Funktion $f: A \to A$ gilt: Ein Element $a \in A$ ist genau dann ein Fixpunkt von $f$, wenn $a$ im Bild $f(A)$ liegt. Dies ergibt sich aus den folgenden beiden Eigenschaften:
- Ist $a \in A$ ein Fixpunkt von $f$, so gilt trivialerweise $f(a)=a \in f(A)$.
- Sei umgekehrt $a \in f(A)$ ein Element des Bilds $f(A)$. Dann existiert ein Element $b \in A$ mit $f(b) = a$. Aufgrund der Idempotenz von $f$ gilt dann \[ f(a) = f\bigl(f(b)\bigr) = f(b) = a, \]woraus unmittelbar folgt, dass es sich bei $a$ um einen Fixpunkt der Abbildung $f$ handelt.
Insbesondere stimmt bei idempotenten Abbildungen $f: A \to A$ das Bild $f(A)$ mit der Fixpunktmenge $\operatorname{Fix}(f)$ überein:
Konstante Abbildungen
Sei $c \in A$ ein fest gewähltes Element einer Menge $A$. Die konstante Abbildung $f_c : A \to A$ mit $f_c(a) = c$ für alle $a \in A$, die jedes Element von $A$ auf $c$ anbildet, ist stets idempotent, denn es gilt:
Konstante Abbildungen sind außerdem linksabsorbierende Elemente des Monoids aller Abbildungen $A \to A$ bezüglich der Komposition $\circ$, da für eine beliebige Abbildung $g: A \to A$ stets gilt:
Identische Abbildung
Die identische Abbildung $\operatorname{id}_A: A \to A$ mit $\operatorname{id}_A(a) = a$ ist idempotent, da gilt:
Sie ist das neutrale Element des Monoids aller Abbildungen einer Menge auf sich selbst und damit idempotent, da neutrale Elemente stets idempotent sind.
Beispiele
Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische idempotente Abbildungen:
- Die konstante Funktion $f_{42}: x \mapsto {42}$ ist eine idempotente Funktion; es gilt: \[ f_{42}\bigl(f_{42}(x)\bigr) = f_{42}({42}) = 42 = f_{42}(x). \]
- Die identische Abbildung $\operatorname{id}_A: A \to A, a \mapsto a$ ist eine idempotente Abbildung; es gilt: \[ \operatorname{id}_A\bigl(\operatorname{id}_A(a)\bigr) = \operatorname{id}_A(a) = a = \operatorname{id}_A(a). \]
- Die Betragsfunktion $|\cdot|: \R \to \R$ ist idempotent, da für alle $x \in \R$ die folgende Aussage gilt: \[ \bigl||x|\bigr| = |x|. \]
- Die Vorzeichenfunktion sgn ist idempotent. Für alle $x \in \R$ gilt die folgende Aussage: \[ \sgn\bigl(\sgn(x)\bigr) = \sgn(x). \]
- Die Abrundungsfunktion $\lfloor\cdot\rfloor$ und die Aufrundungsfunktion $\lceil\cdot\rceil$ sind im weiteren Sinne idempotent, da für alle $x \in \R$ zwar die nachfolgenden Gleichheiten gelten, es sich aber genau genommen um Abbildungen $\R \to \Z$ und nicht $\R \to \R$ handelt: \begin{align*} \bigl\lfloor\lfloor x \rfloor\bigr\rfloor &= \lfloor x \rfloor \\[0.5em] \bigl\lceil\lceil x \rceil\bigr\rceil &= \lceil x \rceil. \end{align*}
- Die orthogonale Projektion auf eine Gerade oder Ebene im $\R^n$ ist idempotent: Einmal projiziert liegt der Punkt bereits in der Zielmenge, sodass eine erneute Projektion ihn unverändert lässt.
- Das Erzeugen der reflexiven oder der transitiven Hülle einer Relation ist eine idempotente Abbildung.