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Idempotentes Element

Bei einem idempotenten Element handelt es sich um ein spezielles Element einer algebraischen Struktur, das die besondere Eigenschaft besitzt, dass die Verknüpfung des Elements mit sich selbst wieder das Element selbst ergibt.

Definition

Sei $\mathcal{M} = (M, \star)$ ein Magma, d. h. eine Menge $M$ mit einer darauf definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star$. Ein Element $a \in M$ heißt idempotent (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt:

a \star a = a.

Bei multiplikativer Schreibweise kann dies auch mithilfe einer Potenz dargestellt werden:

\[ a^2 = a. \]

Hieraus folgt unmittelbar auch die folgende Aussage, die namensgebend für die Bezeichnung Idempotenz (aus dem lateinischen: gleiche Potenz) ist. Sie kann durch vollständige Induktion unmittelbar gezeigt werden. Für $n \in \N$ mit $n \geq 1$ gilt:

\[ a^n = a. \]

Sind alle Elemente eines Magmas $\mathcal{M} = (M, \star)$ idempotent, so wird auch $\mathcal{M}$ selbst idempotent genannt.

Eigenschaften

Neutrales Element

Besitzt ein Magma $\mathcal{M} = (M, \star)$ ein neutrales Element $e \in M$, so ist dieses stets idempotent – gemäß Definition des neutralen Elements gilt:

e \star e = e.

Absorbierende Elemente

Ein absorbierendes Element $o \in M$ eines Magmas $\mathcal{M} = (M, \star)$ ist stets idempotent; es gilt:

o \star o = o.

Idempotente Elemente in Gruppen

In einer Gruppe $\mathcal{G} = (G, \star)$ ist das neutrale Element $e$ stets das einzige idempotente Element. Sei $a \in G$ idempotent. Da jedes Element einer Gruppe ein inverses Element besitzt, existiert ein Element $a^{-1} \in G$ mit $a^{-1} \star a = e$. Somit gilt

\begin{align*} a &= e \star a \\[0.5em] &= \bigl(a^{-1} \star a \bigr) \star a \\[0.5em] &= a^{-1} \star \bigl( a \star a \bigr) \\[0.5em] &= a^{-1} \star a \\[0.5em] &= e, \end{align*}

woraus $a = e$ folgt.

Idempotente Elemente in Ringen

In einem Ring mit Eins $\mathcal{R} = (R, +, \cdot)$ gibt es mehrere idempotente Elemente:

Das Nullelement $0$ und das Einselement $1$ sind stets idempotent bezüglich der Multiplikation: $\begin{align*} 0 \cdot 0 &= 0 \\[0.55em] 1 \cdot 1 &= 1. \end{align*}$
Das Nullelement $0$ ist idempotent bezüglich der Addition: $\[ 0 + 0 = 0. \]$
Ist der Ring $\mathcal{R}$ nicht nullteilerfrei, so können bezüglich der Multiplikation weitere idempotente Elemente existieren.

Ist das Element $a \in R$ idempotent bezüglich der Multiplikation, so ist auch $1 - a$ idempotent, denn es gilt:

\begin{align*} \bigl( 1-a \bigr) \cdot \bigl( 1-a \bigr) &= 1 - a - a + a^2 \\[0.5em] &= 1 - a \underbrace{{} - a + a}_0 \\[0.5em] &= 1 - a. \end{align*}

Ist jedes Element eines Rings idempotent (bezüglich der Multiplikation) – ist der Ring also selbst idempotent –, so ist der Ring ebenfalls kommutativ.

Idempotente Elemente in Verbänden

In einem Verband $\mathcal{V} = (V, \vee, \wedge)$ ist jedes Element $a \in V$ idempotent bezüglich der beiden Verknüpfungen $\vee$ und $\wedge$:

\begin{align*} a \vee a &= a \\[0.5em] a \wedge a &= a. \end{align*}

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische idempotente Elemente:

Bei den Zahlen $0$ und $1$ handelt es sich um die idempotenten Elemente der Multiplikation von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die $0$ ist außerdem idempotent bezüglich der Addition.
Im Restklassenring $\Z_6$ sind neben den Elementen $ {[0]}_6$ und $ {[1]}_6$ außerdem die Elemente $ {[3]}_6$ und $ {[4]}_6$ idempotent bezüglich der Restklassenmultiplikation. Es gilt: $\begin{align*} {[3]}_6 \cdot {[3]}_6 &= {[9]}_6 = {[3]}_6 \\[0.5em] {[4]}_6 \cdot {[4]}_6 &= {[16]}_6 = {[4]}_6. \end{align*}$
In der Aussagenlogik ist jede Aussage $A$ idempotent bezüglich der Konjunktion $\wedge$ und der Disjunktion $\vee$. Es gilt: $\begin{align*} A \wedge A &\Leftrightarrow A \\[0.5em] A \vee A &\Leftrightarrow A. \end{align*}$
Eine Menge $A$ ist stets idempotent bezüglich des Schnitts $\cap$ und der Vereinigung $\cup$ von Mengen: \begin{align*} A \cap A &= A \\[0.5em] A \cup A &= A. \end{align*}
Die Nullmatrix und die Einheitsmatrix sind idempotent bezüglich der Matrizenmultiplikation. Die Nullmatrix ist zudem idempotent bezüglich der Matrizenaddition.
Der Nullvektor ist idempotent bezüglich der Vektoraddition.