Involution (Mathematik)
Eine Involution, involutorische Abbildung bzw. involutorische Funktion ist eine Abbildung einer Menge auf sich selbst, die mit ihrer Umkehrfunktion übereinstimmt und somit bezüglich der Komposition bzw. Verkettung von Funktionen zu sich selbst invers ist: Die zweimalige Anwendung der Abbildung liefert stets das ursprüngliche Element zurück.
Definition
Gegeben sei eine Menge $A$ sowie eine Abbildung $f: A \rightarrow A$ dieser Menge auf sich selbst. Die Abbildung $f$ heißt involutorisch bzw. eine Involution, falls gilt:
d. h. falls für alle $a \in A$ gilt:
Bei $\circ$ handelt es sich wie üblich um die Verkettung bzw. Komposition von Funktionen, mit $\id_A$ ist wie üblich die identische Abbildung auf $A$ bezeichnet.
Eine Involution bzw. involutorische Abbildung ist folglich ein selbstinverses Element des Monoids aller Abbildungen $A \to A$ bezüglich der Komposition $\circ$.
Eigenschaften
Bijektivität
Jede Involution $f: A \to A$ ist eine bijektive Abbildung. Da $f \circ f = \id_A$ gilt, ist $f$ sowohl links- als auch rechtsinvers zu sich selbst. Die Umkehrfunktion von $f$ ist daher wieder $f$ selbst:
Komposition von Involutionen
Für die Komposition von Involutionen gelten die folgenden Eigenschaften:
- Handelt es sich bei $f: A \to A$ und $g: A \to A$ um zwei Involutionen, so ist ihre Verkettung $f \circ g$ genau dann eine Involution, wenn $f$ und $g$ miteinander kommutieren, wenn also gilt: \[ f \circ g = g \circ f. \]
- Ist $f: A \to A$ eine Involution und $g: A \to A$ eine beliebige Bijektion, so ist die Komposition $g \circ f \circ g^{-1}$ ebenfalls eine Involution.
- Der Funktionsgraph einer Involution in den reellen Zahlen ist stets symmetrisch zur Winkelhalbierenden (d. h. zur Funktion $f(x)=x$).
- Eine Verschiebung der Abbildung entlang der Winkelhalbierenden ist ebenfalls eine Involution: Für eine reelle Involution $f$ und ein beliebiges reelles $a \in \R$ gilt stets, dass es sich auch bei der Abbildung $x \mapsto f(x-a) + a$ um eine Involution handelt. Hierbei handelt es sich um einen Spezialfall der vorherigen Eigenschaft, dass es sich für eine Bijektion $g$ bei $g \circ f \circ g^{-1}$ ebenfalls um eine involutorische Abbildung handelt – nämlich um den Fall $g(x) = x-a$ und $g^{-1}(x)=x+a$.
Involutionen und Permutationen
Handelt es sich bei $\pi$ um eine Bijektion einer endlichen Menge $\bigl\{ 1,\ldots,n \bigr\}$ auf sich selbst, also um eine Permutation und somit um ein Element der symmetrischen Gruppe $\mathcal{S}_n$, so ist $\pi$ genau dann eine Involution, wenn es sich in Zyklenschreibweise ausschließlich aus Fixpunkten und disjunkten Transpositionen (d. h. Zyklen der Länge 2) zusammensetzen lässt. Da alle Transpositionen disjunkt sind, ist die Anzahl der Nicht-Fixpunkte der Permutation stets gerade.
Verhältnis zur Idempotenz
Involutionen und idempotente Abbildungen sind verwandte, aber verschiedene Konzepte. Eine idempotente Abbildung $f: A \to A$, die zugleich eine Involution ist, erfüllt sowohl die Eigenschaft $f \circ f = f$ als auch die Eigenschaft $f \circ f = \id_A$. Hieraus folgt unmittelbar $f = \id_A$ – die einzige Abbildung, die gleichzeitig involutorisch und idempotent ist, ist somit die identische Abbildung.
Beispiele
Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Involutionen:
- Die identische Abbildung $\id_A: A \to A$ ist eine (triviale) Involution; es gilt: \[ \id_A\bigl(\id_A(a)\bigr) = \id_A(a) = a. \]
- Die Negation von ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen ist eine Involution; es gilt: \[ -\bigl( -x \bigr) = x. \]
- Analog zur Negation ist die Kehrwertbildung von rationalen, reellen oder komplexen Zahlen ungleich Null eine Involution: \[ {\bigl( x^{-1} \bigr)}^{-1} = x. \]
- Allgemein: In einer Gruppe ist die Abbildung $a \mapsto -a$ (bei additiver Schreibweise) bzw. $a \mapsto a^{-1}$ (bei multiplikativer Schreibweise) eine Involution – also die Abbildung, die ein Element auf sein zugehöriges inverses Element abbildet.
- Die komplexe Konjugation $z \mapsto \overline{z}$ ist eine Involution. Für alle komplexen Zahlen $z \in \C$ gilt: \[ \overline{\overline{z}} = z. \]
- Das Transponieren von Matrizen ist eine Involution auf der Menge der quadratischen Matrizen über einem Ring, da gilt: \[ \bigl(A^T\bigr)^T = A. \]
- In der Geometrie sind sowohl Punkt- als auch Geradenspiegelungen Involutionen. Die zweimalige Spiegelung eines Punkts am selben Punkt bzw. an derselben Geraden liefert stets den Ausgangspunkt zurück.
- Die logische Negation $\neg$ in der Aussagenlogik ist eine Involution; es gilt: \[ \forall x \bigl(\neg(\neg x) \leftrightarrow x \bigr). \]
- Die Abbildung $x \mapsto x+ {[1]}_2$ im Restklassenkörper $\mathbb{F}_2$ ist eine Involution; es gilt: \[ \bigl( x + {[1]}_2 \bigr) + {[1]}_2 = x. \]