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Linearkombination

Bei einer Linearkombination handelt es sich in der linearen Algebra um einen Vektor, der sich mithilfe der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation durch gegebene Vektoren darstellen lässt.

Inhalt

Definition
Beispiele
Lineare Hülle
Erzeugendensystem
Lineare Unabhängigkeit

Definition

Linearkombination endlich vieler Vektoren

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Körper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Elemente der Vektoren stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei einer Linearkombination endlich vieler Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ eines Vektorraums $\mathcal{V}$ über dem Körper $\mathcal{K}$ handelt es sich um einen Vektor $v$, der sich wie folgt darstellen lässt:

\begin{align*} v &= \sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot v_i} \\[0.5em] &= \lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_n \cdot v_n. \end{align*}

Bei den Werten bzw. Skalaren $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{K}$ handelt es sich um die Koeffizienten der Linearkombination. Die Darstellung des Vektors $v$ selbst wird ebenfalls als Linearkombination bezeichnet.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die folgenden Vektoren des $\R^3$:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] 1 \end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\[0.25em] 4 \\[0.25em] 8 \end{pmatrix}.

Beim Vektor $v_3$ handelt es sich um eine Linearkombination der Vektoren $v_1$ und $v_2$, denn es gilt:

v_3 = 3 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2.

Beispiel 2

Gegeben seien die folgenden Vektoren des $\R^3$:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] -1 \end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 4 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix}.

Beim Vektor $v_3$ handelt es sich nicht um eine Linearkombination der Vektoren $v_1$ und $v_2$, da der Vektor $v_3$ nicht durch die Vektoren $v_1$ und $v_2$ dargestellt werden kann.

Beispiel 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit reellen Koeffizienten:

\begin{align*} p_1(x) &= x^2 + x - 1 \\[0.5em] p_2(x) &= -x^2 + 2x + 3 \\[0.5em] p_3(x) &= 3x + 2. \end{align*}

Das Polynom $p_3(x)$ ist eine Linearkombination der Polynome $p_1(x)$ und $p_2(x)$, denn es gilt:

\[ p_3(x) = p_1(x) + p_2(x). \]

Lineare Hülle

Hauptartikel: Lineare Hülle

Gegeben seien ein Vektorraum $\mathcal{V}$ über einem Körper $\mathcal{K}$ sowie Vektoren $v_1,\ldots,v_n \in \mathcal{V}$. Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren $v_1,\ldots, v_n$ wird als lineare Hülle bezeichnet:

\Lin\bigl(v_1,\ldots,v_n\bigr) = \Bigl\{ \lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_n \cdot v_n \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{K} \Bigr\}.

Erzeugendensystem

Hauptartikel: Erzeugendensystem

Gegeben seien ein Vektorraum $\mathcal{V}$ über einem Körper $\mathcal{K}$ sowie eine Teilmenge $A \subseteq \mathcal{V}$. Die Teilmenge $A$ wird Erzeugendensystem von $\mathcal{V}$ genannt, falls jeder Vektor $v \in \mathcal{V}$ als Linearkombination der Vektoren aus $A$ dargestellt werden kann, d. h., falls gilt (mit $n \in \N_0$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{K}$ und $a_1,\ldots,a_n \in A$):

v = \lambda_1 \cdot a_1 + \ldots + \lambda_n \cdot a_n.

Lineare Unabhängigkeit

Hauptartikel: Lineare Unabhängigkeit

Gegeben sei ein Vektorraum $\mathcal{V}$ über einem Körper $\mathcal{K}$. Vektoren $v_1,\ldots,v_n \in \mathcal{V}$ heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

\lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_n \cdot v_n = 0_\mathcal{V}

nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_\mathcal{K}$ besitzt – wenn also nur eine einzige Linearkombination des Nullvektors $0_\mathcal{V}$ existiert; andernfalls sind die Vektoren linear abhängig.