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Summenregel (Integrationsregel)

Die Summenregel ist eine der grundlegenden Regeln der Integralrechnung. Sie besagt, dass die Summe von integrierbaren Funktionen selbst integrierbar ist. Die Summenregel besagt zudem, dass das Integral der Summe von Funktionen auf die Integrale der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann, indem diese einzeln integriert und anschließend aufsummiert werden. Die Summenregel gilt ebenfalls für die Differenz von Funktionen.

Integrationsregel

Summenregel

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Die Summenregel der Integralrechnung besagt, dass die Summe bzw. Differenz

f(x) = u(x) \pm v(x)

der Funktionen $u$ und $v$ auf dem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar ist, falls die Funktionen $u$ und $v$ auf dem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar sind. Das Integral der Summe bzw. das Integral der Differenz kann in diesem Fall auf die Integrale der Funktionen $u$ und $v$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\bigl( u(x) \pm v(x) \bigr)\ dx} \\[0.75em] &= \int{u(x)\ dx} \pm \int{v(x)\ dx} \end{align*}

In Worten: Das Integral der Summe (bzw. Differenz) entspricht der Summe (bzw. Differenz) der Integrale.

Hinweis: Dies gilt analog für das bestimmte Integral über einem Intervall $[a, b]$ der reellen Zahlen.

Summenregel (allgemein)

Die allgemeine Summenregel der Integralrechnung gilt analog für Summen bzw. Differenzen von mehreren Funktionen. Sind die Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$) auf einem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar, so ist auch ihre Summe

\begin{align*} f(x) &= \sum\limits_{k=1}^n{f_k(x)} \\[0.75em] &= f_1(x) + \ldots + f_n(x) \end{align*}

auf dem Intervall $\mathcal{D}$ integrierbar und es gilt:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x)} \right)\ dx} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \int{f_k(x)\ dx} \right)} \\[0.75em] &= \int{f_1(x)\ dx} + \ldots + \int{f_n(x)\ dx} \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog für das bestimmte Integral über einem Intervall $[a, b]$ der reellen Zahlen sowie für die Differenz von mehreren Funktionen.

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel demonstriert die Summenregel der Integralrechnung für eine Summe von zwei Funktionen. Gegeben sei die Funktion

\[ f(x) = x^2 + e^x, \]

bei der es sich um die Summe der Potenzfunktion $x^2$ und der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Da beide Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich integrierbar sind, kann die Stammfunktion der Funktion $f$ mithilfe der Summenregel auf die Summe der Stammfunktionen der Funktionen $x^2$ und $e^x$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Integrationsregel der Potenzfunktion sowie die Integrationsregel der Exponentialfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\bigl( x^2 + e^x \bigr)\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^2\ dx} + \int{e^x\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot x^3 + e^x + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel verwendet die Summenregel für Integrale für eine Summe von drei Funktionen. Gegeben sei die Funktion

g(x) = x^5 - \cos(x) + \ln(x),

bei der es sich um die Summe (bzw. Differenz) der Potenzfunktion $x^5$, der Kosinus-Funktion $\cos(x)$ und der Logarithmusfunktion $\ln(x)$ handelt. Da alle drei Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich integrierbar sind, kann die Stammfunktion der Funktion $g$ mithilfe der Summenregel auf die Summe bzw. Differenz der Stammfunktionen der Funktionen $x^5$, $\cos(x)$ und $\ln(x)$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Integrationsregel der Potenzfunktion, die Integrationsregel der Kosinus-Funktion sowie die Integrationsregel der Logarithmusfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\bigl(x^5 - \cos(x) + \ln(x) \bigr)\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^5\ dx} - \int{\cos(x)\ dx} + \int{\ln(x)\ dx} \\[0.5em] &= \frac{1}{6} \cdot x^6 - \sin(x) + x \cdot \ln(x) - x + \mathcal{C} \end{align*}

Beweis

Beweis der Summenregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Summenregel der Integralrechnung für die Summe (bzw. die Differenz) $f$ von zwei Funktionen $u$ und $v$ erfolgt mithilfe der Definition des Riemann-Integrals über den Grenzwert einer Riemann-Zwischensumme. Das reelle Intervall $\mathcal{D} = [a, b]$ wird hierzu in $n$ Teilintervalle aufgeteilt. Das $i$-te Teilintervall sei durch $x_i$ und $x_{i+1}$ (mit $x_i \lt x_{i+1}$) begrenzt, wobei $x_0 = a$ und $x_n = b$ gilt. Mit $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$ sei ein beliebiger Zwischenpunkt in diesem Teilintervall bezeichnet. Dann gilt:

\begin{align*} \int\limits_a^b{f(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int\limits_a^b{\bigl( u(x) \pm v(x) \bigr)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot \bigl( u(\xi_i) \pm v(\xi_i) \bigr)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\Bigl( \bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i) \pm \bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) \Bigr) } \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \pm \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) } \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \right)} \pm \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) } \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \int\limits_a^b{u(x)\ dx} \pm \int\limits_a^b{v(x)\ dx} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $f(x)$ durch $u(x) \pm v(x)$
(2)	Definition des Riemann-Integrals als Grenzwert der Riemann-Zwischensumme
(3)	Ausmultiplizieren des Terms innerhalb des Summenzeichens mit dem Distributivgesetz
(4)	Aufteilen der Summe auf zwei Summenzeichen
(5)	Aufteilen des Grenzwerts der Summe (bzw. der Differenz) auf die Summe (bzw. die Differenz) der Grenzwerte
(6)	Rückführung der Grenzwerte auf das Riemann-Integral von $u$ bzw. $v$

Da die Gleichheit für beliebige Grenzen $a, b \in \R$ gilt, überträgt sie sich auf das unbestimmte Integral. Es gilt:

\int{\bigl(u(x) \pm v(x)\bigr)\ dx} = \int{u(x)\ dx} \pm \int{v(x)\ dx}

Hinweis: Der Beweis funktioniert analog mit Obersummen oder Untersummen anstelle der Zwischensumme.

Beweis der Summenregel (allgemein)

Der Beweis der allgemeinen Summenregel der Integralrechnung für Summen (bzw. Differenzen) von mehreren integrierbaren Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$ und $n \geq 2$) kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits mithilfe des Grenzwerts der Riemann-Zwischensumme erbrachte Beweis verwendet, dass die Summenregel für die Summe von zwei Funktionen gültig ist. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Summenregel sei für Summen mit $n$ Funktionen gültig, dann auch die Gültigkeit für Summen mit $n+1$ Funktionen folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $n=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Die Summenregel gelte für ein fest gewähltes $n \in \N$ mit $n \geq 2$.

Für die Summe von $n+1$ Funktionen gilt dann:

\begin{align*} \int\limits_a^b{\left( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{f_k(x)} \right)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int\limits_a^b{\left( \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x)} \right) + f_{n+1}(x) \right)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int\limits_a^b{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x)} \right)\ dx} + \int\limits_a^b{f_{n+1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \int\limits_a^b{f_k(x)\ dx} \right)} + \int\limits_a^b{f_{n+1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left( \int\limits_a^b{f_k(x)\ dx} \right)} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen der Summe bis $n+1$ auf die Summe bis $n$ Herausziehen der Funktion $f_{n+1}$ aus dem Summenzeichen
(2)	Anwenden der Summenregel für die Summe von zwei Funktionen
(3)	Ausrechnen des Integrals $\int\limits_a^b{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f_k(x)} \right)\ dx}$ mithilfe der Summenregel, da diese gemäß Induktionsannahme für Summen mit $n$ Funktionen gilt
(4)	Hineinziehen des Integrals $\int\limits_a^b{f_{n+1}(x)\ dx}$ in das Summenzeichen

Insgesamt folgt, dass die Summenregel für Summen mit $n+1$ Funktionen gilt, falls sie für Summen mit $n$ Funktionen gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Summenregel für alle Summen von $n \geq 2$ integrierbaren Funktionen.

Da die Gleichheit für beliebige Grenzen $a, b \in \R$ gilt, überträgt sie sich auf das unbestimmte Integral. Es gilt:

\int{\left( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{f_k(x)} \right)\ dx} = \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left( \int{f_k(x)\ dx} \right)}