Symmetrische Relation
Bei einer symmetrischen Relation handelt es sich um eine zweistellige Relation \(R\) auf einer Menge, bei der aus \((a,b) \in R\) stets \((b,a) \in R\) folgt. Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für Äquivalenzrelationen.
Mit der Symmetrie eng verwandte Eigenschaften von Relationen sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Definition
Sei \(A\) eine Menge und \(R \subseteq A \times A\) eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation. Die Relation \(R\) heißt symmetrisch, falls gilt:
Steht ein Element \(a\) also in Relation mit einem Element \(b\), so stehen umgekehrt auch stets \(b\) und \(a\) in Relation. Betrachtet man den zur Relation gehörenden gerichteten Graphen, so gibt es also zu jeder Kante von \(a\) nach \(b\) stets die entgegengesetzte Kante von \(b\) nach \(a\). Steht \(a\) in Relation zu sich selbst, so gilt dies implizit.
Ist die Symmetriebedingung verletzt, so ist die Relation nicht symmetrisch.
Hinweis: Eine Relation ist symmetrisch, solange die Symmetriebedingung nicht explizit verletzt ist. Es ist insbesondere nicht notwendig, dass Elemente \(a,b \in A\) mit \((a,b) \in R\) tatsächlich existieren.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_1\) mit
Die Relation \(R_1\) ist symmetrisch, da für alle Elemente \(x,y \in A\) stets gilt: Aus \((x,y) \in R_1\) folgt \((y,x) \in R_1\).
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_2\) mit
Die Relation \(R_2\) ist nicht symmetrisch, da die Symmetriebedingung verletzt ist:
- Es gilt \((a,b) \in R_2\), aber \((b,a) \notin R_2\).
- Es gilt \((c,b) \in R_2\), aber \((b,c) \notin R_2\).
Beispiel 3
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_3\) mit
Die Relation \(R_3\) ist symmetrisch, da für alle Elemente \(x,y \in A\) stets gilt: Aus \((x,y) \in R_3\) folgt \((y,x) \in R_3\).
Beispiel 4
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_4\) mit
Die Relation \(R_4\) ist symmetrisch, da für alle Elemente \(x,y \in A\) stets gilt: Aus \((x,y) \in R_4\) folgt \((y,x) \in R_4\). Da die Relation \(R_4\) keine Elemente enthält, existieren insbesondere auch keine Verletzungen der Symmetriebedingung.
Beispiele in der Mathematik
Gleichheit von Zahlen
Bei der Gleichheit \(=\) von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um symmetrische Relationen. Dasselbe gilt für die Ungleichheit \(\neq\). Bei der Gleichheit \(=\) handelt es sich sogar um eine Äquivalenzrelation.
Ähnlichkeit von Dreiecken
Ist ein Dreieck \(ABC\) ähnlich zu einem Dreieck \(DEF\), so ist umgekehrt auch das Dreieck \(DEF\) ähnlich zum Dreieck \(ABC\). Bei der Ähnlichkeit von Dreiecken handelt es sich somit um eine symmetrische Relation – und sogar um eine Äquivalenzrelation.
Kongruenz modulo \(m\)
Zwei ganze Zahlen \(a\) und \(b\) heißen kongruent modulo \(m\), wenn sie bei Division durch \(m\) denselben Rest lassen. Die Kongruenzrelation ist symmetrisch und sogar eine Äquivalenzrelation.
Eigenschaften
Für Relationen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Eine Relation \(R\) ist genau dann symmetrisch, wenn sie mit ihrer Umkehrrelation \(R^{-1}\) übereinstimmt. \[ R = R^{-1} \]
- Eine Relation \(R\) ist symmetrisch, wenn ihre komplementäre Relation \(R^c\) symmetrisch ist.
- Sind \(R\) und \(S\) symmetrische Relationen, so sind auch ihr Schnitt \(R \cap S\) und ihre Vereinigung \(R \cup S\) symmetrische Relationen. Die Aussage gilt analog für den Schnitt und Vereinigung von mehr als zwei Relationen.
- Die kleinste symmetrische Relation \(S\), die eine gegebene Relation \(R\) vollständig enthält, wird symmetrische Hülle genannt. Sie lässt sich leicht durch Vereinigung mit der inversen Relation \(R^{-1}\) finden. \[ S = R \cup R^{-1} \]
- Eine Relation ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem gerichteten Graphen zugrundeliegende Adjazenzmatrix symmetrisch (zur Hauptdiagonalen) ist.