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Addition von Vektoren

Bei der Vektoraddition wird die Summe von zwei Vektoren berechnet, indem diese komponentenweise addiert werden.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Addition von zwei Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}^n$, bei der der Ergebnisvektor berechnet wird, indem die beiden Vektoren $a$ und $b$ elementweise addiert werden.

Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^2$ gilt exemplarisch: $a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] a_2+b_2 \end{pmatrix}.$
Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^3$ gilt entsprechend: $a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] a_2+b_2 \\[0.25em] a_3+b_3 \end{pmatrix}.$
Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ gilt allgemein: $a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n+b_n \end{pmatrix}.$

Wichtig: Es können nur Vektoren derselben Dimension addiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Addition von zwei Vektoren des $\R^2$:

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 3 \\ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Die Vektoraddition ist nicht auf zwei Vektoren beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Addition von drei Vektoren des $\R^3$ zeigt:

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2 + 5 \\ 2 + 5 + 2 \\ 3 + 7 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 11 \end{bmatrix}

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Vektoren $a,b,c \in \mathcal{R}^n$ ist assoziativ; es gilt:

\bigl( a+b \bigr) + c = a + \bigl( b+c \bigr).

Die Assoziativität der Addition von Vektoren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl(a+b\bigr)+c &\overset{(1)}{=} \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} \bigl(a_1+b_1\bigr)+c_1 \\ \vdots \\ \bigl(a_n+b_n\bigr)+c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} a_1+\bigl(b_1+c_1\bigr) \\ \vdots \\ a_n+\bigl(b_n+c_n\bigr) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1+c_1 \\ \vdots \\ b_n+c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \right) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} a+\bigl(b+c\bigr). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Vektoren $a$, $b$ und $c$ durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)	Ausrechnen von $a+b$ gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)	Addition von $c$ gemäß Definition der Addition von Vektoren
(4)	Die Gleichheit $(a_k+b_k)+c_k = a_k+(b_k+c_k)$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen
(5)	Aufteilen des Vektors $a+\bigl(b+c\bigr)$ auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(6)	Aufteilen des Vektors $b+c$ auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(7)	Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren $a$, $b$ und $c$

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Kommutativität

Die Addition von Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ ist kommutativ; es gilt:

\[ a+b = b+a. \]

Die Kommutativität der Addition von Vektoren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} a+b &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ \vdots \\ b_n+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} b+a. \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Vektoren $a$ und $b$ durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)	Ausrechnen von $a+b$ gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)	Die Gleichheit $a_k+b_k = b_k+a_k$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)	Aufteilen des Vektors $b+a$ auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(5)	Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren $a$ und $b$

Neutrales Element

Der Nullvektor $0$ ist das neutrale Element der Addition von Vektoren; es gilt:

\[ 0+a = a = a+0. \]

Der Nullvektor $0$ ist linksneutral bezüglich der Vektoraddition, denn es gilt:

\begin{align*} 0+a &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R}+a_1 \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R}+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass der Nullvektor ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Vektoraddition.

\begin{align*} a+0 &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ a_n+0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a. \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Vektoren $0$ und $a$ durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)	Ausrechnen von $0+a$ bzw. $a+0$ gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)	Ausrechnen von $0_\mathcal{R}+a_k$ bzw. $a_k+0_\mathcal{R}$ ergibt $a_k$ (für $1 \leq k \leq n$), da $0_\mathcal{R}$ das neutrale Element der Addition im Ring $\mathcal{R}$ ist, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)	Ersetzen des Spaltenvektors durch den Vektor $a$

Inverses Element

Das inverse Element eines Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ bzgl. der Vektoraddition ist der Vektor $-a$, bei dessen Elementen $-a_k$ es sich um die additiven Inversen der Elemente $a_k$ des Vektors $a$ handelt; es gilt:

\bigl(-a\bigr) + a = 0 = a + \bigl(-a\bigr).

Der Vektor $-a$ ist linksinvers zum Vektor $a$, denn es gilt:

\begin{align*} \bigl(-a\bigr) + a &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} -a_1 \\ \vdots \\ -a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} (-a_1)+a_1 \\ \vdots \\ (-a_n)+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass der Vektor $-a$ ebenfalls rechtsinvers ist, und dass es sich somit um das additive Inverse handelt:

\begin{align*} a+\bigl(-a\bigr) &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a_1 \\ \vdots \\ -a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+(-a_1) \\ \vdots \\ a_n+(-a_n) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Vektoren $a$ und $-a$ durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)	Ausrechnen von $(-a)+a$ bzw. $a+(-a)$ gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)	Ausrechnen der Terme $(-a_k)+a_k$ bzw. $a_k+(-a_k)$ ergibt $0_\mathcal{R}$ (für $1 \leq k \leq n$), da es sich im Ring $\mathcal{R}$ bei $-a_k$ um das additive Inverse von $a_k$ handelt
(4)	Definition des Nullvektors