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Addition von Vektoren

Bei der Vektoraddition wird die Summe von zwei Vektoren berechnet, indem diese komponentenweise addiert werden.

Inhalt

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Addition von zwei Vektoren \(a,b \in \mathcal{R}^n\) handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}^n\), bei der der Ergebnisvektor berechnet wird, indem die beiden Vektoren \(a\) und \(b\) elementweise addiert werden.

  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^2$ gilt exemplarisch:
    \[ a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] a_2+b_2 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^3$ gilt entsprechend:
    \[ a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] a_2+b_2 \\[0.25em] a_3+b_3 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ gilt allgemein:
    \[ a + b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n+b_n \end{pmatrix}. \]

Wichtig: Es können nur Vektoren derselben Dimension addiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Addition von zwei Vektoren des $\R^2$:

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 3 \\ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} \]

Die Vektoraddition ist nicht auf zwei Vektoren beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Addition von drei Vektoren des $\R^3$ zeigt:

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2 + 5 \\ 2 + 5 + 2 \\ 3 + 7 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 11 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Vektoren $a,b,c \in \mathcal{R}^n$ ist assoziativ; es gilt:

\[ \bigl( a+b \bigr) + c = a + \bigl( b+c \bigr). \]

Die Assoziativität der Addition von Vektoren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl(a+b\bigr)+c &\overset{(1)}{=} \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} \bigl(a_1+b_1\bigr)+c_1 \\ \vdots \\ \bigl(a_n+b_n\bigr)+c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} a_1+\bigl(b_1+c_1\bigr) \\ \vdots \\ a_n+\bigl(b_n+c_n\bigr) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1+c_1 \\ \vdots \\ b_n+c_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \right) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} a+\bigl(b+c\bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \(a+b\) gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)
  • Addition von \(c\) gemäß Definition der Addition von Vektoren
(4)
  • Die Gleichheit \((a_k+b_k)+c_k = a_k+(b_k+c_k)\) (für \(1 \leq k \leq n\)) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(5)
  • Aufteilen des Vektors \(a+\bigl(b+c\bigr)\) auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(6)
  • Aufteilen des Vektors \(b+c\) auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(7)
  • Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\)

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Kommutativität

Die Addition von Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ ist kommutativ; es gilt:

\[ a+b = b+a. \]

Die Kommutativität der Addition von Vektoren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} a+b &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ \vdots \\ b_n+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} b+a. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(a\) und \(b\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \(a+b\) gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)
  • Die Gleichheit \(a_k+b_k = b_k+a_k\) (für \(1 \leq k \leq n\)) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Aufteilen des Vektors \(b+a\) auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition von Vektoren
(5)
  • Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren \(a\) und \(b\)

Neutrales Element

Der Nullvektor $0$ ist das neutrale Element der Addition von Vektoren; es gilt:

\[ 0+a = a = a+0. \]

Der Nullvektor \(0\) ist linksneutral bezüglich der Vektoraddition, denn es gilt:

\begin{align*} 0+a &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R}+a_1 \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R}+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass der Nullvektor ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Vektoraddition.

\begin{align*} a+0 &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ a_n+0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} a. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(0\) und \(a\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \(0+a\) bzw. \(a+0\) gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)
  • Ausrechnen von \(0_\mathcal{R}+a_k\) bzw. \(a_k+0_\mathcal{R}\) ergibt \(a_k\) (für \(1 \leq k \leq n\)), da \(0_\mathcal{R}\) das neutrale Element der Addition im Ring \(\mathcal{R}\) ist, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen des Spaltenvektors durch den Vektor \(a\)

Inverses Element

Das inverse Element eines Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ bzgl. der Vektoraddition ist der Vektor $-a$, bei dessen Elementen \(-a_k\) es sich um die additiven Inversen der Elemente \(a_k\) des Vektors \(a\) handelt; es gilt:

\[ \bigl(-a\bigr) + a = 0 = a + \bigl(-a\bigr). \]

Der Vektor \(-a\) ist linksinvers zum Vektor \(a\), denn es gilt:

\begin{align*} \bigl(-a\bigr) + a &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} -a_1 \\ \vdots \\ -a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} (-a_1)+a_1 \\ \vdots \\ (-a_n)+a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass der Vektor \(-a\) ebenfalls rechtsinvers ist, und dass es sich somit um das additive Inverse handelt:

\begin{align*} a+\bigl(-a\bigr) &\overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a_1 \\ \vdots \\ -a_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} a_1+(-a_1) \\ \vdots \\ a_n+(-a_n) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren \(a\) und \(-a\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von \((-a)+a\) bzw. \(a+(-a)\) gemäß Definition der Addition von Vektoren
(3)
  • Ausrechnen der Terme \((-a_k)+a_k\) bzw. \(a_k+(-a_k)\) ergibt \(0_\mathcal{R}\) (für \(1 \leq k \leq n\)), da es sich im Ring \(\mathcal{R}\) bei \(-a_k\) um das additive Inverse von \(a_k\) handelt
(4)
  • Definition des Nullvektors