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Subtraktion von Vektoren

Bei der Vektorsubtraktion wird die Differenz von zwei Vektoren berechnet, indem diese komponentenweise subtrahiert werden.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Subtraktion von zwei Vektoren \(a,b \in \mathcal{R}^n\) handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}^n\), bei der der Ergebnisvektor berechnet wird, indem die beiden Vektoren \(a\) und \(b\) elementweise subtrahiert werden.

  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^2$ gilt exemplarisch:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] a_2-b_2 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^3$ gilt entsprechend:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] a_2-b_2 \\[0.25em] a_3-b_3 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ gilt allgemein:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n-b_n \end{pmatrix}. \]

Wichtig: Es können nur Vektoren derselben Dimension subtrahiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Subtraktion von zwei Vektoren des $\R^2$:

\[ \begin{bmatrix} 7 \\ 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 - 3 \\ 9 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix} \]

Die Vektorsubtraktion ist nicht auf zwei Vektoren beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Subtraktion von drei Vektoren des $\R^3$ zeigt:

\[ \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 1 - 3 \\ 9 - 0 - 5 \\ 7 - 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Vektoren \(a,b,c \in \mathcal{R}^n\) ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( a-b \bigr) - c \neq a - \bigl( b-c \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Vektoren kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[1em] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Kommutativität

Die Subtraktion von Vektoren \(a,b \in \mathcal{R}^n\) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ a-b \neq b-a. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Vektoren kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\[1em] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Vektorsubtraktion. Der Nullvektor \(0\) ist lediglich rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Ein inverses Element des Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ bezüglich der Vektorsubtraktion existiert im Allgemeinen nicht.