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Subtraktion von Vektoren

Bei der Vektorsubtraktion wird die Differenz von zwei Vektoren berechnet, indem diese komponentenweise subtrahiert werden.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Subtraktion von zwei Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}^n$, bei der der Ergebnisvektor berechnet wird, indem die beiden Vektoren $a$ und $b$ elementweise subtrahiert werden.

  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^2$ gilt exemplarisch:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] a_2-b_2 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^3$ gilt entsprechend:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] a_2-b_2 \\[0.25em] a_3-b_3 \end{pmatrix}. \]
  • Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ gilt allgemein:
    \[ a - b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_n-b_n \end{pmatrix}. \]

Wichtig: Es können nur Vektoren derselben Dimension subtrahiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Subtraktion von zwei Vektoren des $\R^2$:

\[ \begin{bmatrix} 7 \\ 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 - 3 \\ 9 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix} \]

Die Vektorsubtraktion ist nicht auf zwei Vektoren beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Subtraktion von drei Vektoren des $\R^3$ zeigt:

\[ \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 1 - 3 \\ 9 - 0 - 5 \\ 7 - 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Vektoren $a,b,c \in \mathcal{R}^n$ ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( a-b \bigr) - c \neq a - \bigl( b-c \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Vektoren kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[1em] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Kommutativität

Die Subtraktion von Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ a-b \neq b-a. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Vektoren kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\[1em] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Vektorsubtraktion. Der Nullvektor $0$ ist lediglich rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Ein inverses Element des Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ bezüglich der Vektorsubtraktion existiert im Allgemeinen nicht.