Nullmatrix
Bei der Nullmatrix handelt es sich um eine Matrix, deren Elemente alle Null sind. Es handelt sich um das neutrale Element der Matrizenaddition.
Definition
Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.
Bei der Nullmatrix handelt es sich um die Matrix $0_{mn} \in \mathcal{R}^{m \times n}$ mit
deren Elemente ausnahmslos dem neutralen Element $0_\mathcal{R}$ der Addition in $\mathcal{R}$ entsprechen.
Hinweis: Falls die Dimension keine Rolle spielt oder keine Verwechslungsgefahr besteht, wird für die Nullmatrix anstelle von $0_{mn}$ oft nur $0$ geschrieben.
Beispiele
Bei den folgenden Beispielen handelt es sich exemplarisch um einige reelle Nullmatrizen:
Eigenschaften
Neutrales Element
Die Nullmatrix $0_{mn}$ ist das neutrale Element der Matrizenaddition. Für $m \times n$ Matrizen gilt:
Die Nullmatrix $0$ ist linksneutral bezüglich der Matrizenaddition, denn es gilt:
Analog kann gezeigt werden, dass die Nullmatrix ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Matrizenaddition.
Erklärungen zu den Schritten | |
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Absorbierendes Element
Die Nullmatrix ist ein absorbierendes Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. Für alle Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt:
Für quadratische Matrizen $B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt insbesondere:
Kenngrößen
- Die Determinante einer quadratischen Nullmatrix ist Null: \[ \det(0_{nn}) = 0. \]
- Die Nullmatrix ist die einzige Matrix mit Rang Null; es gilt: \[ \rg(0_{mn}) = 0. \]
- Das charakteristische Polynom einer quadratischen Nullmatrix $0_{nn}$ hat die Form \[ \chi(0_{nn}) = \lambda^n. \]Der einzige Eigenwert ist $\lambda=0$ und besitzt die Vielfachheit $n$.
Weitere Eigenschaften
Es gelten die folgenden weiteren Eigenschaften:
- Die Nullmatrix $0_{mn}$ kann als das dyadische Produkt der Nullvektoren $0_m$ und $0_n$ dargestellt werden: \[ 0_{mn} = 0_m \otimes 0_n. \]
- Die transponierte Matrix, die adjungierte Matrix und die komplementäre Matrix einer Nullmatrix ist wieder eine Nullmatrix, bei der lediglich die Dimensionen vertauscht sind: \[ 0_{mn}^T = 0_{mn}^H = 0_{nm} \quad\text{ und }\quad \operatorname{adj}(0_{nn}) = 0_{nn}. \]
- Gegeben seien zwei Vektorräume $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$. Bei der Nullmatrix handelt es sich um die Abbildungsmatrix der Nullabbildung, also um diejenige lineare Abbildung, die alle Elemente aus $\mathcal{V}$ auf den Nullvektor $0_\mathcal{W}$ von $\mathcal{W}$ abbildet.