Reflexive Relation
Bei einer reflexiven Relation handelt es sich um eine zweistellige Relation \(R\) auf einer Menge, bei der für alle Elemente der Menge stets \((a,a) \in R\) gilt. Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für Äquivalenz- und für Ordnungsrelationen.
Eine mit der Reflexivität eng verwandte Eigenschaft von Relationen ist Irreflexivität.
Definition
Sei \(A\) eine Menge und \(R \subseteq A \times A\) eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation. Die Relation \(R\) heißt reflexiv, falls gilt:
Jedes Element steht also in Relation mit sich selbst.
Ist die Reflexivitätsbedingung verletzt, so ist die Relation nicht reflexiv.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_1\) mit
Die Relation \(R_1\) ist reflexiv, da für alle Elemente \(x \in A\) stets \((x,x) \in R_1\) gilt.
Beispiel 2
Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}\) sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation \(R_2\) mit
Die Relation \(R_2\) ist nicht reflexiv, da die Reflexivitätsbedingung verletzt ist:
- Es gilt \((c,c) \notin R_2\).
- Es gilt \((d,d) \notin R_2\).
Beispiele in der Mathematik
Gleichheit von Zahlen
Bei der Gleichheit \(=\) von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um reflexive Relationen; es handelt sich sogar um Äquivalenzrelationen.
Anordnen von Zahlen
Bei der Kleinergleich-Relation \(\leq\) von natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen handelt es sich um reflexive Relationen, da stets \(a \leq a\) gilt. Dasselbe gilt analog für die Größergleich-Relation \(\geq\). In beiden Fällen handelt es sich um Ordnungsrelationen.
Teilbarkeit
Die Teilbarkeitsrelation \(\mid\) für natürliche und ganze Zahlen ist reflexiv. Für alle Zahlen \(a\) gilt stets \(a \mid a\). Es handelt sich bei der Teilbarkeitsrelation um eine Ordnungsrelation.
Teilmenge
Die Teilmengenbeziehung \(\subseteq\) ist reflexiv. Für jede Menge \(A\) gilt \(A \subseteq A\). Mengen sind stets eine Teilmenge von sich selbst. Es handelt sich bei der Teilmengenbeziehung um eine Ordnungsrelation.
Kongruenz modulo \(m\)
Für alle ganzen Zahlen \(a\) gilt, dass sie zu sich selbst kongruent modulo \(m\) sind. Es gilt trivialerweise \(a \equiv a \pmod{m}\). Die Kongruenzrelation ist reflexiv und sogar eine Äquivalenzrelation.
Eigenschaften
Für Relationen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Eine Relation \(R\) auf der Menge \(A\) ist genau dann reflexiv, wenn sie die Identitätsrelation \({Id}_A\) enthält. \[ R \text{ ist reflexiv} \Leftrightarrow {Id}_A \subseteq R \]
- Ist eine Relation \(R\) reflexiv, so ist die Umkehrrelation \(R^{-1}\) ebenfalls reflexiv.
- Ist eine Relation \(R\) reflexiv, so ist die komplementäre Relation \(R^c\) irreflexiv.
- Sind \(R\) und \(S\) reflexive Relationen, so sind auch ihr Schnitt \(R \cap S\) und ihre Vereinigung \(R \cup S\) reflexive Relationen. Die Aussage gilt analog für den Schnitt und Vereinigung von mehr als zwei Relationen.
- Die kleinste reflexive Relation \(S\), die eine gegebene Relation \(R\) vollständig enthält, wird reflexive Hülle genannt. Sie lässt sich leicht durch Vereinigung mit der Identitätsrelation \({Id}_A\) finden. \[ S = R \cup {Id}_A \]
- Die Relation auf der leeren Menge ist die einzige Relation, die sowohl reflexiv als auch irreflexiv ist.