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Ringhomomorphismus

Bei einem Ringhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Ringen.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Arten von Ringhomomorphismen
Beispiele

Definitionen

(Ring-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Ringe \(\mathcal{R}_1 = \bigl(R_1,\oplus,\odot\bigr)\) und \(\mathcal{R}_2 = \bigl(R_2,\boxplus,\boxdot\bigr)\). Eine Abbildung \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) wird (Ring-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente \(a,b \in R_1\) stets die folgenden Eigenschaften gelten:

\begin{align*} \varphi(a \oplus b) &= \varphi(a) \boxplus \varphi(b) \\[0.5em] \varphi(a \odot b) &= \varphi(a) \boxdot \varphi(b). \end{align*}

Handelt es sich bei den Ringen \(\mathcal{R}_1\) und \(\mathcal{R}_2\) um Ringe mit Eins, so wird für einen Ringhomomorphismus \(\varphi\) zusätzlich gefordert, dass das Einselement \(e_\odot\) des Rings \(\mathcal{R}_1\) auf das Einselement \(e_\boxdot\) des Rings \(\mathcal{R}_2\) abgebildet wird:

\varphi(e_\odot) = e_\boxdot.

Bei der Abbildung \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen \(\bigl(R_1,\oplus\bigr)\) und \(\bigl(R_2,\boxplus\bigr)\) der beiden Ringe und um einen Halbgruppen- bzw. Monoidhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen bzw. Monoide \(\bigl(R_1,\odot\bigr)\) und \(\bigl(R_2,\boxdot\bigr)\) – je nachdem, ob es sich um Ringe ohne oder mit Eins handelt.

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden. Für Ringe mit Eins werden die neutralen Elemente der Multiplikation aufeinander abgebildet.

Bild und Kern

Beim Bild eines Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) handelt es sich um die Bildmenge von \(R_1\) unter \(\varphi\), also um die Menge der Elemente aus \(R_2\), auf die die Elemente aus \(R_1\) abgebildet werden:

\operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(R_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in R_1 \Bigr\}.

Beim Kern eines Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) handelt es sich um die Elemente aus \(R_1\), die auf das Nullelement \(e_\boxplus\) des Rings \(\mathcal{R}_2\) abgebildet werden:

\operatorname{Kern}(\varphi) = \operatorname{ker}(\varphi) = \varphi^{-1}(e_\boxplus) = \Bigl\{ a \in R_1 \mid \varphi(a) = e_\boxplus \Bigr\}.

Es gilt \(\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq R_2\) und \(\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq R_1\). Die Abbildung \(\varphi\) ist genau dann injektiv, wenn der Kern von \(\varphi\) nur das Nullelement \(e_\oplus\) des Rings \(\mathcal{R}_1\) enthält, und genau dann surjektiv, wenn \(\operatorname{Bild}(\varphi) = R_2\) gilt. Es handelt sich beim Bild von \(\varphi\) um einen Unterring des Rings \(\mathcal{R}_2\).

Verkettung von Ringhomomorphismen

Handelt es sich bei \(\varphi_1: R_1 \rightarrow R_2\) und bei \(\varphi_2: R_2 \rightarrow R_3\) um zwei Ringhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition \(\varphi_2 \circ \varphi_1: R_1 \rightarrow R_3\) ebenfalls um einen Ringhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Ringhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Eigenschaften

Neutrales Element der Addition

Gemäß der Definition eines Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) gilt für alle \(a \in R_1\) und das additive neutrale Element \(e_\oplus \in R_1\) stets

\begin{align*} \varphi(a) &= \varphi(a \oplus e_\oplus) = \varphi(a) \boxplus \varphi(e_\oplus) \\[0.5em] \varphi(a) &= \varphi(e_\oplus \oplus a) = \varphi(e_\oplus) \boxplus \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(e_\oplus) \in R_2\) ist folglich links- und rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Addition \(\boxplus\).

In Worten: Das additive neutrale Element von \(\mathcal{R}_1\) wird auf das additive neutrale Element von \(\mathcal{R}_2\) abgebildet.

Inverse Elemente der Addition

Gemäß der Definition eines Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) gilt für alle \(a \in R_1\), die additiven inversen Elemente \(-a \in R_1\) und die additiven neutralen Elemente \(e_\oplus \in R_1\) und \(e_\boxplus \in R_2\) stets

\begin{align*} e_\boxplus = \varphi(e_\oplus) &= \varphi\bigl(a \oplus (-a)\bigr) = \varphi(a) \boxplus \varphi(-a) \\[0.5em] e_\boxplus = \varphi(e_\oplus) &= \varphi\bigl((-a) \oplus a\bigr) = \varphi(-a) \boxplus \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(-a) \in R_2\) ist bezüglich der Addition \(\boxplus\) folglich links- und rechtsinvers (und somit invers) zum Element \(\varphi(a) \in R_2\). Hieraus folgt unmittelbar \(\varphi(-a) = -\varphi(a)\).

In Worten: Die additiven inversen Elemente in \(\mathcal{R}_1\) werden auf die additiven inversen Elemente in \(\mathcal{R}_2\) abgebildet.

Arten von Ringhomomorphismen

(Ring-)Monomorphismus

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) wird (Ring-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) injektiv ist.

(Ring-)Epimorphismus

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) wird (Ring-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) surjektiv ist.

Wichtig: Jeder surjektive Ringhomomorphismus ist ein Ringepimorpishmus. Umgekehrt ist aber nicht jeder Ringepimorphismus auch surjektiv!

(Ring-)Isomorphismus

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) wird (Ring-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Ist \(\varphi: R_1 \rightarrow R_2\) ein Ringisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion \(\varphi^{-1}: R_2 \rightarrow R_1\) ein Ringisomorphismus und die Ringe werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Ring-)Endomorphismus

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi: R \rightarrow R\) eines Rings in sich selbst wird (Ring-)Endomorphismus genannt.

(Ring-)Automorphismus

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi: R \rightarrow R\) eines Rings in sich selbst wird (Ring-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

Für beliebige Ringe \(\mathcal{R}_1 = \bigl(R_1,\oplus,\odot\bigr)\) und \(\mathcal{R}_2 = \bigl(R_2,\boxplus,\boxdot\bigr)\) handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus \(R_1\) auf das Nullelement \(e_\boxplus \in R_2\) abbildet, um einen Ringhomomorphismus. Sein Kern umfasst ganz \(R_1\).
Hinweis: Dies gilt nicht für Ringe mit Eins, da das Einselement \(e_\odot \in R_1\) nicht auf das Einselement \(e_\boxdot \in R_2\) abgebildet wird.
Für einen beliebigen Ring \(\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)\) handelt es sich bei der identischen Abbildung \(\id_R: R \rightarrow R\) mit \(\id_R(a)=a\) um einen Ringautomorphismus.

Nichttriviale Beispiele

Bei der komplexen Konjugation \(\C \rightarrow \C\) mit \(z \mapsto \overline{z}\) handelt es sich um einen Ringhomomorphismus. Diese Abbildung ist bijektiv; es handelt sich um einen Ringautomorphismus.
Bei der Abbildung \(\Z \rightarrow \Z_m\) mit \(a \mapsto {[a]}_m\) zwischen dem Ring der ganzen Zahlen \(\Z\) und dem Restklassenring \(\Z_m\) handelt es sich um einen Ringhomomorphismus. Die Abbildung ist surjektiv; es handelt sich folglich um einen Ringepimorphismus.
Nach dem chinesischen Restsatz handelt es sich für teilerfremde natürliche Zahlen \(m_1,\ldots,m_n\) und deren Produkt \(M = m_1 \cdot\ldots\cdot m_n\) bei der Abbildung \(\Z_M \rightarrow \Z_{m_1} \times\ldots\times \Z_{m_n}\) mit \({[x]}_M \mapsto \bigl( {[x]}_{m_1}, \ldots, {[x]}_{m_n} \bigr)\) um einen Ringisomorphismus.