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Wurzel (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion (abgekürzt: sqrt, cbrt, root) lässt sich durch Umschreiben der Wurzel als Potenz und anschließendes Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für Potenzen der Wurzelfunktion.

Grundlagen

Die Wurzelfunktion ist eine der grundlegenden Basisfunktionen. Sie kann mithilfe von Wurzelgesetz VI in eine Potenzfunktion umgeschrieben werden; es gilt:

\[ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Quadratwurzel ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\sqrt{x}\ dx} &= \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} + \mathcal{C} \end{align*}

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion mit beliebigem Wurzelexponenten $n \in \N$ mit $n \geq 2$ ist für gerade Wurzelexponenten $n$ für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 0$ und für alle ungeraden Wurzelexponenten $n$ für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\sqrt[n]{x}\ dx} &= \frac{n}{n+1} \cdot x^{\frac{n+1}{n}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{n}{n+1} \cdot \sqrt[n]{x^{n+1}} + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Wurzelfunktion mit reellen Exponenten $m \in \R$ und $m \neq -n$ existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{{\left( \sqrt[n]{x} \right)}^m\ dx} &= \frac{n}{m+n} \cdot x^{\frac{m+n}{n}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{n}{m+n} \cdot \sqrt[n]{x^{m+n}} + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für $m = -n$ handelt es sich um den Spezialfall $x^{-1}$, der gesondert behandelt werden muss – siehe Integrationsregel der Potenzfunktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sqrt{5x} \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = 5x$ substituiert, woraus sich $dt = 5\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{5}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\sqrt{5x}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sqrt{t} \cdot \frac{1}{5}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{5} \cdot \int{t^{\frac{1}{2}}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} \\[0.75em] &= \frac{2}{15} \cdot {\bigl(5x\bigr)}^{\frac{3}{2}} \\[0.75em] &= \frac{2}{15} \cdot \sqrt{{\bigl(5x\bigr)}^3} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sqrt[7]{x} \]

Mithilfe der Integrationsregel der Wurzelfunktion ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Die Wurzel wird zunächst als Potenz umgeschrieben, anschließend wird die Integrationsregel der Potenzfunktion angewendet:

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\sqrt[7]{x}\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^{\frac{1}{7}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{7}+1} \cdot x^{\frac{1}{7}+1} \\[0.75em] &= \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{8}{7}} \\[0.75em] &= \frac{7}{8} \cdot \sqrt[7]{x^8} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \sqrt{x^2+1} \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $h(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = x^2+1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{\sqrt{x^2+1} \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sqrt{t} \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{t^{\frac{1}{2}}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot {\bigl(x^2+1\bigr)}^{\frac{3}{2}} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{{\bigl(x^2+1\bigr)}^3} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 4

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Wurzelfunktion bestimmt werden soll:

\[ k(x) = {\bigl( \sqrt[5]{x} \bigr)}^{-4} \]

Die Potenz der Wurzelfunktion wird zunächst als Potenz umgeschrieben. Anschließend kann die Integrationsregel der Potenzfunktion direkt angewendet werden:

\begin{align*} \int{k(x)\ dx} &= \int{{\bigl( \sqrt[5]{x} \bigr)}^{-4}\ dx} \\[0.75em] &= \int{{\bigl( x^{\frac{1}{5}} \bigr)}^{-4}\ dx} \\[0.75em] &= \int{x^{-\frac{4}{5}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{-\frac{4}{5}+1} \cdot x^{-\frac{4}{5}+1} \\[0.75em] &= \frac{1}{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{1}{5}} \\[0.75em] &= 5 \cdot x^{\frac{1}{5}} \\[0.75em] &= 5 \cdot \sqrt[5]{x} + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von √x

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Wurzelfunktion erfolgt durch Umschreiben der Wurzel als Potenz und anschließendes Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion. Es gilt:

\begin{align*} \int{\sqrt[n]{x}\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{x^{\frac{1}{n}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{\frac{1}{n}+1} \cdot x^{\frac{1}{n}+1} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{n}{n+1} \cdot x^{\frac{n+1}{n}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{n}{n+1} \cdot \sqrt[n]{x^{n+1}} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion
(3)
  • Vereinfachen des Exponenten:
    \[ \frac{1}{n} + 1 = \frac{1}{n} + \frac{n}{n} = \frac{n+1}{n} \]
  • Vereinfachen des Faktors:
    \[ \frac{1}{\frac{1}{n}+1} = \frac{1}{\frac{n+1}{n}} = \frac{n}{n+1} \]
(4)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz VI
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Für den Spezialfall $n = 2$, die Integrationsregel der Quadratwurzel, ergibt sich somit:

\begin{align*} \int{\sqrt{x}\ dx} &= \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von (√x)m

Die Herleitung der Integrationsregel für Potenzen der Wurzelfunktion erfolgt durch Umschreiben der Wurzel als Potenz, Umformen mit den Potenzgesetzen und anschließendes Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion. Es gilt:

\begin{align*} \int{{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{{\left( x^{\frac{1}{n}} \right)}^m\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{x^{\frac{m}{n}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\frac{m}{n}+1} \cdot x^{\frac{m}{n}+1} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{n}{m+n} \cdot x^{\frac{m+n}{n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{n}{m+n} \cdot \sqrt[n]{x^{m+n}} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Anwenden der Integrationsregel der Potenzfunktion
(4)
  • Vereinfachen des Exponenten:
    \[ \frac{m}{n} + 1 = \frac{m}{n} + \frac{n}{n} = \frac{m+n}{n} \]
  • Vereinfachen des Faktors:
    \[ \frac{1}{\frac{m}{n}+1} = \frac{1}{\frac{m+n}{n}} = \frac{n}{m+n} \]
(5)
  • Umschreiben der Potenz als Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz VI
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Gemäß Wurzelgesetz IV gilt $ {\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m = \sqrt[n]{x^m}$. Die gefundene Integrationsregel für die Potenz der Wurzel ist somit implizit auch die Integrationsregel für die Wurzel der Potenz.

\[ \int{{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^m\ dx} = \int{\sqrt[n]{x^m}\ dx} = \frac{n}{m+n} \cdot \sqrt[n]{x^{m+n}} + \mathcal{C} \]