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Spur (Matrix)

Bei der Spur einer quadratischen Matrix handelt es sich um die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente.

Definition

Spur einer Matrix

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Spur einer quadratischen Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

handelt es sich um die Summe der Hauptdiagonalelemente der Matrix.

\begin{align*} \spur(A) &= \sum\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}} \\[0.5em] &= a_{11} + \ldots + a_{nn} \end{align*}

Für die Spur einer Matrix werden unter anderem auch die Schreibweisen $\sp$, $\trace$ oder $\tr$ verwendet.

Spur eines Endomorphismus

Sei $f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{V}$ eine lineare Abbildung eines Vektorraums $\mathcal{V}$ auf sich selbst – also ein Endomorphismus. Bei der Spur von $f$ handelt es sich um die Spur der Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich einer beliebigen Basis von $\mathcal{V}$. Die Spur ist hierbei unabhängig von der Wahl der konkreten Basis.

Eigenschaften

Für die Spur einer Matrix gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

  • Die Spur einer Matrix entspricht der Summe ihrer Eigenwerte – unter Berücksichtigung ihrer algebraischen Vielfachheiten.
  • Das Negative der Spur taucht als zweithöchster Koeffizient im charakteristischen Polynom $\chi_A(\lambda)$ der Matrix $A$ auf.
  • Die Spur einer Matrix $A$ entspricht der Spur der transponierten Matrix $A^T$.
    \[ \spur\bigl(A\bigr) = \spur\bigl( A^T \bigr) \]
  • Bei der Spur handelt es sich um eine lineare Abbildung. Für Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ und Skalare $\alpha,\beta \in \mathcal{R}$ gilt:
    \[ \spur(\alpha A + \beta B) = \alpha \cdot \spur(A) + \beta \cdot \spur(B). \]
  • Für Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ und $B \in \mathcal{R}^{n \times m}$ gilt:
    \[ \spur(A \cdot B) = \spur(B \cdot A). \]
  • Für quadratische Matrizen $A,B,C \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:
    \[ \spur(A \cdot B \cdot C) = \spur(B \cdot C \cdot A) = \spur(C \cdot A \cdot B). \]
  • Ähnliche Matrizen haben stets dieselbe Spur.
  • Die Spur einer idempotenten Matrix $A$ entspricht ihrem Rang.
    \[ \spur(A) = \rg(A) \]