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Ähnlichkeit von Matrizen

Bei der Ähnlichkeit von Matrizen handelt es sich um eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Matrizen. Zwei Matrizen sind ähnlich, wenn es sich um Abbildungsmatrizen – zu verschiedenen Basen – desselben (Vektorraum-)Endomorphismus handelt.

Inhalt

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Körper \(\mathcal{K}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Zwei quadratische \(n \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{K}^{n \times n}\) über demselben Körper \(\mathcal{K}\) heißen zueinander ähnlich, wenn eine reguläre Matrix \(S \in \mathcal{K}^{n \times n}\) existiert, für die gilt:

\[ B = S^{-1} A S. \]

Diese Bedingung ist äquivalent zur folgenden Aussage:

\[ SB = AS. \]

Die Abbildung \(\mathcal{K}^{n \times n} \rightarrow \mathcal{K}^{n \times n}\) mit

\[ A \mapsto B = S^{-1}AS, \]

die die Matrix \(A\) auf die Matrix \(B\) abbildet, wird Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation genannt. Die Matrix \(S\) ist hierbei nicht notwendigerweise eindeutig definiert.

Ist eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so ist die Matrix diagonalisierbar. Ist eine Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix, so ist die Matrix triagonalisierbar.

Beispiel

Gegeben seien die beiden reellen \(2 \times 2\) Matrizen \(A,B \in \R^{2 \times 2}\):

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \\[0.75em] B &= \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}. \end{align*}

Diese beiden Matrizen sind ähnlich zueinander, denn gemeinsam mit der regulären Matrix

\[ S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

gilt:

\begin{align*} S^{-1}AS &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= B. \end{align*}

Eigenschaften

Kenngrößen

Für zueinander ähnliche Matrizen \(A,B \in \mathcal{K}^{n \times n}\) gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen stimmen überein; es gilt:
    \[ \chi_B(\lambda) = \chi_A(\lambda). \]

    Die Gleichheit der charakteristischen Polynome kann wie folgt gezeigt werden:

    \begin{align*} \chi_B(\lambda) &\overset{(1)}{=} \det\left( \lambda E - B \right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \det\left( \lambda E - S^{-1}AS \right) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \det\left( S^{-1} \lambda E S - S^{-1} A S \right) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \det\left( S^{-1} \left( \lambda E - A \right) S \right) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \det\left( S^{-1} \right) \cdot \det\left( \lambda E - A\right) \cdot \det(S) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \det\left( \lambda E - A \right) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \chi_A(\lambda). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Definition des charakteristischen Polynoms \(\chi_B\)
    (2)
    • Einsetzen von \(B = S^{-1}AS\).
    (3)
    (4)
    • Die Gleichheit von \(S^{-1} \lambda E S - S^{-1} A S\) und \(S^{-1} \left( \lambda E - A \right) S\) gilt aufgrund der Distributivität des Matrizenrings
    (5)
    (6)
    • Verwenden der Eigenschaft, dass für die Determinante der inversen Matrix \(S^{-1}\) gilt:
      \[ \det\left(S^{-1}\right) = \frac{1}{\det(S)} \]
    • Verwenden der Kommutativität der Multiplikation im Körper \(\mathcal{K}\) sowie der Eigenschaft, dass \(\det(S) \cdot \det\left(S^{-1}\right) = 1\) gilt.
    (7)
    • Definition des charakteristischen Polynoms \(\chi_A\)
  • Die Matrizen haben dieselben Eigenwerte. (Hinweis: Dies gilt nicht notwendigerweise für die Eigenvektoren.)
  • Die Matrizen haben dieselbe Determinante; es gilt:
    \[ \det(B) = \det(A). \]
  • Die Matrizen haben dieselbe Spur; es gilt:
    \[ \tr(B) = \tr(A). \]
  • Die Matrizen haben denselben Rang; es gilt:
    \[ \rg(B) = \rg(A). \]

Äquivalenzrelation

Bei der Ähnlichkeit von Matrizen handelt es sich um eine Relation. Für Matrizen \(A,B \in \mathcal{K}^{n \times n}\) gilt:

\[ A \sim B \Leftrightarrow \exists S \in \mathcal{K}^{n \times n}: B = S^{-1}AS. \]

Zwei Matrizen stehen folglich genau dann in Relation, wenn sie ähnlich zueinander sind. Es handelt sich um eine Äquivalenzrelation.

  • Die Relation \(\sim\) ist symmetrisch, denn es gilt:
    \[ \begin{array}{l} B \sim A \\[0.5em] \Rightarrow B = S^{-1}AS \\[0.5em] \Rightarrow A = SBS^{-1} \\[0.5em] \Rightarrow A \sim B. \end{array} \]
  • Die Relation \(\sim\) ist reflexiv, denn es gilt:
    \[ \begin{array}{l} A = EAE \\[0.5em] \Rightarrow A \sim A. \end{array} \]
  • Die Relation \(\sim\) ist transitiv, denn es gilt:
    \[ \begin{array}{l} C \sim B \wedge B \sim A \\[0.5em] \Rightarrow C = S_1^{-1}BS_1 \wedge B = S_2^{-1}AS_2 \\[0.5em] \Rightarrow C = \underbrace{S_1^{-1}S_2^{-1}}_{=\ S^{-1}} A \underbrace{S_2S_1\vphantom{S_1^{-1}}}_{=\ S} \\[0.5em] \Rightarrow C \sim A. \end{array} \]

Bei den Äquivalenzklassen handelt es sich um die zueinander ähnlichen Matrizen. Für die Äquivalenzklasse einer Matrix \(A \in \mathcal{K}^{n \times n}\) gilt exemplarisch:

\[ \lbrack A \rbrack = \Bigl\{ B \in \mathcal{K}^{n \times n} \mid \exists S \in \mathcal{K}^{n \times n} : B = S^{-1}AS \Bigr\}. \]