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Spur (Matrix)

Bei der Spur einer quadratischen Matrix handelt es sich um die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente.

Inhalt

Definition

Spur einer Matrix

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Spur einer quadratischen Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

handelt es sich um die Summe der Hauptdiagonalelemente der Matrix.

\begin{align*} \spur(A) &= \sum\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}} \\[0.5em] &= a_{11} + \ldots + a_{nn} \end{align*}

Für die Spur einer Matrix werden unter anderem auch die Schreibweisen $\sp$, $\trace$ oder $\tr$ verwendet.

Spur eines Endomorphismus

Sei \(f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{V}\) eine lineare Abbildung eines Vektorraums $\mathcal{V}$ auf sich selbst – also ein Endomorphismus. Bei der Spur von $f$ handelt es sich um die Spur der Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich einer beliebigen Basis von $\mathcal{V}$. Die Spur ist hierbei unabhängig von der Wahl der konkreten Basis.

Eigenschaften

Für die Spur einer Matrix gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

  • Die Spur einer Matrix entspricht der Summe ihrer Eigenwerte – unter Berücksichtigung ihrer algebraischen Vielfachheiten.
  • Das Negative der Spur taucht als zweithöchster Koeffizient im charakteristischen Polynom $\chi_A(\lambda)$ der Matrix $A$ auf.
  • Die Spur einer Matrix $A$ entspricht der Spur der transponierten Matrix $A^T$.
    \[ \spur\bigl(A\bigr) = \spur\bigl( A^T \bigr) \]
  • Bei der Spur handelt es sich um eine lineare Abbildung. Für Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ und Skalare $\alpha,\beta \in \mathcal{R}$ gilt:
    \[ \spur(\alpha A + \beta B) = \alpha \cdot \spur(A) + \beta \cdot \spur(B). \]
  • Für Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ und $B \in \mathcal{R}^{n \times m}$ gilt:
    \[ \spur(A \cdot B) = \spur(B \cdot A). \]
  • Für quadratische Matrizen $A,B,C \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt:
    \[ \spur(A \cdot B \cdot C) = \spur(B \cdot C \cdot A) = \spur(C \cdot A \cdot B). \]
  • Ähnliche Matrizen haben stets dieselbe Spur.
  • Die Spur einer idempotenten Matrix $A$ entspricht ihrem Rang.
    \[ \spur(A) = \rg(A) \]