Basis eines Vektorraums

Bei einer Basis handelt es sich um eine linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums, aus der der komplette Vektorraum erzeugt werden kann. Jedes Element des Vektorraums kann als (eindeutig bestimmte) Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.

Definition

Gegeben sei ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$. Eine Teilmenge $B = \bigl\{ b_1, \ldots, b_n \bigr\} \subseteq V$ wird Basis des Vektorraums $V$ genannt, falls die folgenden Eigenschaften gelten:

• Die Vektoren $b_1,\ldots,b_n$ sind linear unabhängig.
• Die Vektoren $b_1,\ldots,b_n$ erzeugen den Vektorraum $V$. Für alle Elemente $v \in V$ existieren (eindeutig bestimmte) Koeffizienten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, sodass gilt:
  \[ v = \lambda_1 \cdot b_1 + \ldots + \lambda_n \cdot b_n. \]

Die Elemente $b_1,\ldots,b_n$ einer Basis $B$ werden Basisvektoren genannt. Die Koeffizienten \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\), die bei der Darstellung des Vektors \(v\) auftreten, werden Koordinaten des Vektors \(v\) bezüglich der Basis \(B\) genannt. Alle Basen eines Vektorraums enthalten stets dieselbe Anzahl von Elementen. Die Anzahl der Basisvektoren, die auch eine unendliche Kardinalzahl sein kann, wird Dimension des Vektorraums genannt.

Eigenschaften

Wie zuvor sei $B$ eine Teilmenge des Vektorraums $V$. Die Menge $B$ ist genau dann eine Basis, wenn die folgenden, äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

• Die Menge $B$ ist ein minimales Erzeugendensystem des Vektorraums $V$, d. h., jeder Vektor $v \in V$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren aus $B$ darstellen. Diese Eigenschaft gilt nicht mehr, sobald ein Element aus $B$ entfernt wird.
• Die Menge $B$ ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge von $V$. Wird ein weiteres Element aus $V$ zu $B$ hinzugefügt, ist die Menge $B$ nicht mehr linear unabhängig.
• Jedes Element $v$ des Vektorraums $V$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren $b_1,\ldots,b_n \in B$ darstellen – mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in K$:
  \[ v = \lambda_1 \cdot b_1 + \ldots + \lambda_n \cdot b_n. \]

Beispiele

Euklidische Ebene

In der euklidischen Ebene $\R^2$ gibt es die Standardbasis $\bigl\{ (1,0), (0,1) \bigr\}$.

Darüber hinaus bildet jedes Paar nichtparalleler Vektoren, d. h. Vektoren, die keine Vielfachen voneinander sind, eine Basis des $\R^2$.

Koordinatenraum

Die Standardbasis des Koordinatenraums $K^n$ über einem Körper $K$ besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren:

Matrizenraum

Die Standardbasis des Matrizenraums $K^{m \times n}$ über einem Körper \(K\) wird durch die Standardmatrizen gebildet, bei denen genau ein Eintrag $1_K$ ist und alle anderen Einträge $0_K$ sind.

Polynomraum

Der Polynomraum – der Vektorraum der Polynome über einem Körper $K$ – hat die Basis $\bigl\{ 1_K, x, x^2, x^3, \ldots \bigr\}$. Es gibt jedoch viele weitere Basen, die je nach Anwendungsfall Vorteile bringen können; ein Beispiel sind die Legendre-Polynome.

Nullvektorraum

Der Nullvektorraum $\bigl\{ 0 \bigr\}$ besitzt als einzige Basis die leere Menge.

Bestimmen einer Basis

Koordinatenraum

Polynomraum

Basisergänzungssatz

Gegeben seien eine Menge \(M = \bigl\{ v_1,\ldots,v_n \bigr\} \subseteq V\) linear unabhängiger Vektoren sowie ein Erzeugendensystem \(E = \bigl\{ w_1,\ldots,w_r \bigr\} \subseteq V\) eines Vektorraums \(V\). Der Basisergänzungssatz besagt, dass die Menge \(M\) durch Hinzunahme geeigneter Vektoren von \(E\) zu einer Basis des Vektorraums \(V\) ergänzt werden kann.

Hinweis: Der Basisergänzungssatz gilt ebenfalls für den Spezialfall, dass die Menge \(M\) leer ist, sowie für den Spezialfall, dass es sich bei \(M\) bereits um eine Basis von \(V\) handelt.