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Potenzieren von komplexen Zahlen
Beim Potenzieren von komplexen Zahlen wird die Potenz einer komplexen Zahl berechnet. Für ganzzahlige Exponenten ist diese eindeutig bestimmt und kann durch Ausmultiplizieren, mithilfe des binomischen Lehrsatzes oder mithilfe des Satzes von de Moivre berechnet werden. Für rationale, reelle und komplexe Exponenten ist die Potenz einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt – es handelt sich dann um eine mehrwertige Funktion.
Definitionen
Natürliche und ganzzahlige Exponenten (allgemein)
Für eine komplexe Zahl \(z\) und eine natürliche Zahl \(n\) kann die Potenz \(z^n\) wie üblich als Produkt von \(n\) Faktoren aufgefasst werden; es gilt:
\[ z^n = \underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{n \text{ Faktoren}}. \]
Alternativ kann die Potenz \(z^n\) auch rekursiv definiert werden:
\begin{align*} z^n &= z^{n-1} \cdot z \\[0.5em] z^1 &= z. \end{align*}
Für \(z \neq 0\) gilt darüber hinaus für das leere Produkt mit \(0\) Faktoren bzw. für die \(0\)-te Potenz von \(z\) die folgende Gleichheit:
\[ z^0 = 1. \]
Die Potenz \(z^n\) kann beispielsweise durch wiederholtes Multiplizieren berechnet werden. In algebraischer Form kann die Potenz zudem durch binäres Potenzieren oder mithilfe des binomischen Lehrsatzes berechnet werden.
Für einen (negativen) ganzzahligen Exponenten \(n\) kann die Berechnung auf den Fall eines natürlichen Exponenten zurückgeführt werden; es gilt:
\[ z^{-n} = \frac{1}{z^n}. \]
Natürliche und ganzzahlige Exponenten (Binomischer Lehrsatz)
Für eine komplexe Zahl \(z\) in algebraischer Form und eine natürliche Zahl \(n\) kann die Potenz \(z^n\) mithilfe des binomischen Lehrsatzes berechnet werden. Es gilt:
\begin{align*} z^n = {(a+ib)}^n &= \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n-k}{(ib)}^k} \\[0.5em] &= \sum\limits_{k=0}^{n}{i^k\binom{n}{k}a^{n-k}b^k} \\[0.5em] &= \sum\limits_{\begin{array}{c}k=0\\k\text{ gerade}\end{array}}^{n}{{(-1)}^{\frac{k}{2}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k} + i \cdot \sum\limits_{\begin{array}{c}k=1\\k\text{ ungerade}\end{array}}^{n}{{(-1)}^{\frac{k-1}{2}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k}. \end{align*}
Für die geraden Werte von \(k\) entstehen hierbei die Terme des Realteils, für die ungeraden Werte von \(k\) entstehen die Terme des Imaginärteils – jeweils mit alternierenden Vorzeichen; für natürliche Zahlen \(\ell \in \N_0\) gilt stets \(i^{4\ell + 0}=1\), \(i^{4\ell + 2}=-1\), \(i^{4\ell + 1}=i\) sowie \(i^{4\ell + 3}=-i\).
Natürliche und ganzzahlige Exponenten (Polarform)
Gegeben sei die folgende komplexe Zahl \(z\) in Polarform (mit \(r,\varphi \in \R\)):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}
Für einen natürlichen oder ganzzahligen Exponenten \(n\) kann die Potenz \(z^n\) mithilfe des Satzes von de Moivre berechnet werden, indem der Betrag mit \(n\) potenziert und das Argument mit \(n\) multipliziert wird:
\begin{align*} z^n &= r^n \cdot \bigl( \cos(n\varphi) + i \cdot \sin(n\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r^n \cdot e^{in\varphi}. \end{align*}
Rationale Exponenten (Polarform)
Gegeben sei die folgende komplexe Zahl \(z\) in Polarform (mit \(r,\varphi \in \R\)):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}
Für einen rationalen Exponenten \(\frac{p}{q}\) (mit \(p,q \in \Z\) und \(q > 0\)) kann die Potenz auf die (ganzzahlige) \(p\)-te Potenz der \(q\)-ten Wurzel der komplexen Zahl \(z\) zurückgeführt werden. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei der \(q\)-ten Wurzel um eine mehrwertige Funktion handelt. Es gilt:
\begin{align*} \sqrt[q]{z} = z^{\frac{1}{q}} &= \left\{ \sqrt[q]{r} \cdot \left( \cos\left( \frac{\varphi+2\pi k}{q}\right) + i \cdot \sin\left( \frac{\varphi+2\pi k}{q} \right) \right) \mid k \in \Z \right\} \\[0.5em] &= \left\{ \sqrt[q]{r} \cdot e^{i \cdot \frac{\varphi+2\pi k}{q}} \mid k \in \Z \right\}. \end{align*}
Anschließendes Berechnen der \(p\)-ten Potenzen der \(q\)-ten Wurzeln mithilfe des Satzes von de Moivre liefert die gesuchten rationalen Potenzen der komplexen Zahl \(z\):
\begin{align*} z^{\frac{p}{q}} &= \left\{ r^{\frac{p}{q}} \cdot \left( \cos\left( \frac{p \cdot (\varphi+2\pi k)}{q}\right) + i \cdot \sin\left( \frac{p \cdot (\varphi+2\pi k)}{q} \right) \right) \mid k \in \Z \right\} \\[0.5em] &= \left\{ r^{\frac{p}{q}} \cdot e^{i \cdot \frac{p \cdot (\varphi+2\pi k)}{q}} \mid k \in \Z \right\}. \end{align*}
Es handelt sich beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem rationalen Exponenten folglich um eine mehrwertige Funktion.
Reelle Exponenten (Polarform)
Gegeben sei die folgende komplexe Zahl \(z\) in Polarform (mit \(r,\varphi \in \R\)):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}
Diese Darstellung ist nur für \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) eindeutig: Allgemein gilt, dass jede der folgenden Darstellungen in Polarform der komplexen Zahl \(z \neq 0\) entspricht (mit \(k \in \Z\)):
\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi+2\pi k) + i \cdot \sin(\varphi+2\pi k) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i \cdot (\varphi+2\pi k)}. \end{align*}
Für einen reellen Exponenten \(x\) ist die Potenz \(z^x\) eine mehrwertige Funktion, und es gilt:
\begin{align*} z^x &= \Bigl\{ r^x \cdot \Bigl( \cos\bigl(x \cdot (\varphi+2\pi k)\bigr) + i \cdot \sin\bigl(x \cdot (\varphi+2\pi k)\bigr) \Bigr) \mid k \in \Z \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ r^x \cdot e^{i \cdot x \cdot (\varphi+2\pi k)} \mid k \in \Z \Bigr\}. \end{align*}
Reelle Basis und komplexe Exponenten
Für eine reelle Basis \(x \gt 0\) und einen komplexen Exponenten \(z=a+ib\) (mit \(a,b \in \R\)) kann die Potenz \(x^z\) mithilfe der Exponentialfunktion sowie mithilfe der Eulerschen Formel berechnet werden; es gilt:
\begin{align*} x^z &= e^{z \cdot \ln{x}} \\[0.5em] &= e^{a \cdot \ln{x} + i \cdot b \cdot \ln{x}} \\[0.5em] &= e^{a \cdot \ln{x}} \cdot e^{i \cdot b \cdot \ln{x}} \\[0.5em] &= x^a \cdot e^{i \cdot b \cdot \ln{x}} \\[0.5em] &= x^a \cdot \bigl( \cos(b \cdot \ln{x}) + i \cdot \sin(b \cdot \ln{x}) \bigr) \\[0.5em] &= \underbrace{x^a \cdot \cos(b \cdot \ln{x})}_{=\ \operatorname{Re}(x^z)} + i \cdot \underbrace{x^a \cdot \sin(b \cdot \ln{x})}_{=\ \operatorname{Im}(x^z)}. \end{align*}
Bei \(\ln{x}\) handelt es sich um die (reelle) Logarithmusfunktion.
Komplexe Basis und komplexe Exponenten
Die Formel für reelle Basen und komplexe Exponenten aus dem vorherigen Abschnitt kann nicht unmittelbar auf komplexe Basen erweitert werden, da es sich beim komplexen Logarithmus um eine mehrwertige Funktion handelt, und somit auch die Potenz zu einer mehrwertigen Funktion wird. Für Potenzen von komplexen Zahlen \(z=r\cdot e^{i\varphi}\) und \(w\) gilt entsprechend:
\begin{align*} z^w &= e^{w \cdot \ln{z}} \\[0.5em] &= \Bigl\{ e^{w \cdot \ln{r}} \cdot \Bigl( \cos\bigl(w \cdot (\varphi + 2\pi k)\bigr) + i \cdot \sin\bigl(w \cdot (\varphi + 2\pi k)\bigr) \Bigr) \mid k\in\Z \Bigr\}. \end{align*}
Wird das Argument \(\varphi\) der komplexen Zahl \(z\) auf den Bereich \(0 \leq \varphi \lt 2\pi\) eingeschränkt und die komplexe Zahl \(w\) in die algebraische Form \(w=a+ib\) umgerechnet, so kann die Potenz \(z^w\) wie folgt berechnet werden:
\begin{align*} z^w &= {\bigl( r \cdot e^{i \varphi} \bigr)}^{a+ib} \\[0.5em] &= {\bigl( r \cdot e^{i \varphi} \bigr)}^{a} \cdot {\bigl( r \cdot e^{i \varphi} \bigr)}^{ib} \\[0.5em] &= r^a \cdot e^{ia\varphi} \cdot r^{ib} \cdot e^{i^2b\varphi} \\[0.5em] &= e^{-b\varphi + a \cdot \ln{r}} \cdot e^{i \cdot (a\varphi + b \cdot \ln{r})} \\[0.5em] &= e^{-b\varphi + a \cdot \ln{r}} \cdot \bigl( \cos(a\varphi + b \cdot \ln{r}) + i \cdot \sin(a\varphi + b \cdot \ln{r}) \bigr) \\[0.5em] &= \underbrace{e^{-b\varphi + a \cdot \ln{r}} \cdot \cos(a\varphi + b \cdot \ln{r})}_{=\ \operatorname{Re}(z^w)} + i \cdot \underbrace{e^{-b\varphi + a \cdot \ln{r}} \cdot \sin(a\varphi + b \cdot \ln{r})}_{=\ \operatorname{Im}(z^w)}. \end{align*}
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die komplexe Zahl \(z = 2+i\) sowie die natürliche Zahl \(n=4\). Es soll die Potenz \(z^n\) berechnet werden. Dies ist beispielsweise durch Ausmultiplizieren möglich. Es gilt:
\begin{align*} z^2 &= (2+i) \cdot (2+i) \\[0.5em] &= \underbrace{2 \cdot 2}_{=\ 4} + \underbrace{2 \cdot i}_{=\ 2i} + \underbrace{i \cdot 2}_{=\ 2i} + \underbrace{i \cdot i}_{=\ -1} \\[0.5em] &= 3+4i \\[1em] z^4 &= z^2 \cdot z^2 \\[0.5em] &= (3+4i) \cdot (3+4i) \\[0.5em] &= \underbrace{3 \cdot 3}_{=\ 9} + \underbrace{3 \cdot 4i}_{=\ 12i} + \underbrace{4i \cdot 3}_{=\ 12i} + \underbrace{4i \cdot 4i}_{=\ -16} \\[0.5em] &= -7 + 24i. \end{align*}
Alternativ kann die Potenz mithilfe des binomischen Lehrsatzes berechnet werden:
\begin{align*} z^4 &= \sum\limits_{k=0}^{4}{\binom{4}{k} \cdot 2^k \cdot i^{4-k}} \\[0.5em] &= \underbrace{\binom{4}{0} \cdot 2^0 \cdot i^4}_{=\ 1} + \underbrace{\binom{4}{1} \cdot 2^1 \cdot i^3}_{=\ -8i} + \underbrace{\binom{4}{2} \cdot 2^2 \cdot i^2}_{=\ -24} + \underbrace{\binom{4}{3} \cdot 2^3 \cdot i^1}_{=\ 32i} + \underbrace{\binom{4}{4} \cdot 2^4 \cdot i^0}_{=\ 16} \\[0.5em] &= -7+24i. \end{align*}
Beispiel 2
Gegeben sei die komplexe Zahl \(z = 2+i\) sowie die ganze Zahl \(n=-4\). Es soll die Potenz \(z^n\) berechnet werden. Es gilt:
\begin{align*} z^{-4} &= \frac{1}{z^4} \\[0.5em] &= \frac{1}{{(2+i)}^4} \\[0.5em] &= \frac{1}{-7+24i} \\[0.5em] &= -\frac{7}{625} - \frac{24}{625}\,i. \end{align*}
Beispiel 3
Gegeben sei die komplexe Zahl \(z = 2 \cdot \bigl( \cos(\frac{\pi}{7}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{7}) \bigr)\) sowie die natürliche Zahl \(n=5\). Es soll die Potenz \(z^n\) berechnet werden. Ausrechnen mithilfe des Satzes von de Moivre ergibt:
\begin{align*} z^5 &= {\left( 2 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \right) \right)}^5 \\[0.5em] &= 2^5 \cdot \left( \cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{7}\right) + i \cdot \sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{7}\right) \right) \\[0.5em] &= 32 \cdot \left( \cos\left(\frac{5}{7}\,\pi\right) + i \cdot \sin\left(\frac{5}{7}\,\pi\right) \right). \end{align*}
