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Determinante

Bei einer Determinante handelt es sich um eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist, und mit deren Hilfe verschiedene Aussagen über die Matrix getroffen werden können – beispielsweise über die eindeutige Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen oder über die Existenz der inversen Matrix.

Inhalt

Verfahren zur Berechnung der Determinante
Eigenschaften
Beispiele

Verfahren zur Berechnung der Determinante

Leibniz-Formel

Die Determinante einer \(n \times n\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit Einträgen aus einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\) wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz mithilfe der folgenden Formel definiert, die als Leibniz-Formel bekannt ist:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \\[0.5em] &= \sum\limits_{\sigma \in \mathcal{S}_n}{\sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i=1}^{n}{a_{i,\sigma(i)}}} \\[0.5em] &= \sum\limits_{\sigma \in \mathcal{S}_n}{\sgn(\sigma) \cdot a_{1,\sigma(1)} \cdot \ldots \cdot a_{n,\sigma(n)}}. \end{align*}

Die Summe wird über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\) berechnet. Mit \(\sgn(\sigma)\) ist das Vorzeichen der Permutation \(\sigma\) bezeichnet; bei \(\sigma(i)\) handelt es sich um den Funktionswert der Permutation \(\sigma\) an der Stelle \(i\).

Hinweis: Der Aufwand für die Berechnung der Determinante einer \(n \times n\) Matrix mit der Leibniz-Formel liegt in \(\mathcal{O}(n!)\); es müssen insgesamt \(n!\) Summanden mit jeweils \(n\) Faktoren berechnet und aufsummiert werden.

Die Determinante einer \(1 \times 1\) Matrix

Gegeben sei die folgende \(1 \times 1\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{1 \times 1}\) mit Elementen aus einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\):

A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}.

Aus der Leibniz-Formel ergibt sich unmittelbar die folgende Determinante:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix} \\[0.5em] &= a_{11}. \end{align*}

Bei der Determinante einer \(1 \times 1\) Matrix handelt es sich folglich um das einzige in der Matrix enthaltene Element.

Die Determinante einer \(2 \times 2\) Matrix

Gegeben sei die folgende \(2 \times 2\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{2 \times 2}\) mit Elementen aus einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\):

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}.

Zum Berechnen der Determinante mit der Leibniz-Formel müssen für beide Permutationen der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_2\) die aufzusummierenden Werte bestimmt werden; es gilt:

Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{11} \cdot a_{22}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{12} \cdot a_{21}\).

Für die Determinante ergibt sich somit:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.5em] &= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}. \end{align*}

Die Determinante einer \(2 \times 2\) Matrix kann also direkt berechnet werden, indem das Produkt \(a_{12} \cdot a_{21}\) der Gegendiagonalelemente vom Produkt \(a_{11} \cdot a_{22}\) der Hauptdiagonalelemente subtrahiert wird.

Die Determinante einer \(3 \times 3\) Matrix

Gegeben sei die folgende \(3 \times 3\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{3 \times 3}\) mit Elementen aus einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\):

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}.

Mithilfe der \(3!=6\) Permutationen der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_3\) kann die Leibniz-Formel nun berechnet werden:

Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}\).

Für die Determinante ergibt sich somit:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\[0.5em] &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \\[0.5em] &\quad {} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}. \end{align*}

Regel von Sarrus

Bei der Regel von Sarrus (auch sarrussche Regel oder Jägerzaun-Regel) handelt es sich um ein Verfahren zur leichteren Berechnung der Determinante einer \(3 \times 3\) Matrix, das nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannt ist. Es handelt es sich um einen Spezialfall der Leibniz-Formel.

Für die Berechnung der Determinante der \(3 \times 3\) Matrix

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

müssen insgesamt sechs Produkte mit jeweils drei Faktoren berechnet werden, die sich leicht über das folgende Schema darstellen lassen:

Schematische Darstellung der Regel von Sarrus

Zunächst wird die Matrix rechts um die ersten beiden Spalten ergänzt. Anschließend werden die Elemente auf den Diagonalen multipliziert und ihre Produkte addiert sowie die Elemente auf den Gegendiagonalen multipliziert und von der Summe subtrahiert. Für die Determinate ergibt sich somit:

\begin{align*} \det(A) &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} \\[0.5em] &\quad {} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}. \end{align*}

Diese Summe entspricht – bis auf die Reihenfolge der Summanden, die aufgrund der Kommutativität der Addition im Ring oder Körper \(\mathcal{R}\) keine Rolle spielt – der Leibniz-Formel für \(3 \times 3\) Matrizen.

Wichtig: Die Regel von Sarrus gilt ausschließlich für die Berechnung der Determinante einer \(3 \times 3\) Matrix.

Laplacescher Entwicklungssatz

Der Laplacesche Entwicklungssatz bietet die Möglichkeit, die Determinante einer quadratischen Matrix nach einer Zeile oder nach einer Spalte zu entwickeln, und geht auf den französischen Mathematiker Pierre-Simon (Marquis de) Laplace zurück. Für die Determinante einer \(n \times n\) Matrix \(A\) gilt:

\begin{array}{l} \text{Entwicklung nach der \(j\)-ten Spalte:} \\[0.5em] \qquad\det(A) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{{(-1)}^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(A_{ij})} \\[1em] \text{Entwicklung nach der \(i\)-ten Zeile:} \\[0.5em] \qquad\det(A) = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}{{(-1)}^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(A_{ij})}. \end{array}

Bei den in den Formeln auftretenden Matrizen \(A_{ij}\) handelt es sich um diejenigen Untermatrizen, die durch Entfernen der \(i\)-ten Zeile und der \(j\)-ten Spalte aus der Matrix \(A\) entstehen. Der Laplacesche Entwicklungssatz führt die Berechnung der Determinante einer \(n \times n\) Matrix folglich auf die Berechnung von Determinanten für \((n-1) \times (n-1)\) Matrizen zurück, die dann auf die Berechnung der Determinanten von \((n-2) \times (n-2)\) Matrizen zurückgeführt werden können, usw.

Bei den Termen \({(-1)}^{i+j}\) handelt es sich um ein alternierendes Vorzeichen, das angibt, welche Terme addiert und welche Terme subtrahiert werden müssen – abhängig von der Zeilen- und Spaltennummer des Elements \(a_{ij}\). Diese Vorzeichen ergeben das folgende, leicht zu merkende, schachbrettartige Muster:

\begin{bmatrix} + & - & + & \ldots \\[0.25em] - & + & - & \ldots \\[0.25em] + & - & + & \ldots \\[0.25em] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}.

Hinweis: Der Laplacesche Entwicklungssatz beschreibt lediglich ein Verfahren, wie die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge ohne Zuhilfenahme der Permutationen der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\) berechnet werden können.

Hinweis: Der Aufwand für die Berechnung der Determinante einer \(n \times n\) Matrix mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz liegt, analog zur Leibniz-Formel, in \(\mathcal{O}(n!)\). Zur Reduzierung des Rechenaufwands bietet es sich an, die Berechnung der Determinate nach einer Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen durchzuführen, da so die Berechnung der Determinanten einiger Untermatrizen entfällt.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix lässt sich mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes besonders elegant nach der ersten Spalte entwickeln, da diese – mit Ausnahme des Elements auf der Hauptdiagonalen – ausschließlich aus Nullen besteht und somit lediglich die Determinante einer einzigen Untermatrix bestimmt werden muss, nämlich derjenigen Untermatrix, die durch Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte entsteht. Diese ist selbst wieder eine obere Dreiecksmatrix, sodass auch deren Determinante mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach der ersten Spalte entwickelt werden kann. Dies gilt analog für alle weiteren Untermatrizen, woraus sich die Determinante wie folgt ergibt:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{11} & \star & \cdots & \star \\[0.25em] 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & \star \\[0.25em] 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{vmatrix} \\[0.75em] &= a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \star & \cdots & \star \\[0.25em] 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & \star \\[0.25em] 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{vmatrix} \\[0.75em] &\ \ \vdots \\[0.5em] &= a_{11} \cdot \ldots \cdot a_{nn} \\[0.5em] &= \prod\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}}. \end{align*}

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ergibt sich dementsprechend unmittelbar aus dem Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente. (Hinweis: Dies gilt analog auch für unteren Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen.)

Um die Determinante einer beliebigen quadratischen Matrix zu bestimmen, kann diese zunächst in Dreiecksform überführt werden – beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren – und anschließend ihre Determinante berechnet werden. Hierbei muss jedoch beachtet werden, dass elementare Zeilen- und Spaltenumformungen die Determinante der Matrix verändern können:

Entsteht eine Matrix \(B\) aus einer Matrix \(A\), indem zwei Zeilen oder zwei Spalten von \(A\) vertauscht werden, so wird die Determinante negiert; es gilt \(\det(B) = -\det(A)\).
Entsteht eine Matrix \(B\) aus einer Matrix \(A\), indem eine Zeile oder eine Spalte mit einem Skalar \(\lambda\) multipliziert wird, so wird auch die Determinante mit diesem Skalar multipliziert; es gilt \(\det(B) = \lambda \cdot \det(A)\).
Entsteht eine Matrix \(B\) aus einer Matrix \(A\), indem ein Vielfaches einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert wird, so ändert sich die Determinante nicht; es gilt \(\det(B) = \det(A)\).

Die Determinante der Matrix in Dreiecksform muss abschließend – abhängig von den durchgeführten elementaren Umformungen – noch in die Determinante der Originalmatrix zurücküberführt werden.

Eigenschaften

Determinante der Einheitsmatrix

Die Determinante einer \(n \times n\) Einheitsmatrix \(E_n\) für eine beliebige natürliche Zahl \(n\) ist stets Eins:

\det(E_n) = 1.

Determinante der transponierten Matrix

Die Determinante der transponierten Matrix \(A^T\) entspricht der Determinate der Matrix \(A\):

\det\left(A^T\right) = \det(A).

Determinante der inversen Matrix

Die Determinante der inversen Matrix \(A^{-1}\) – falls diese existiert – entspricht dem multiplikativen Inversen der Determinante der Matrix \(A\):

\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)}\ .

Hinweis: Die Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\det(A)\) eine Einheit im zugrundeliegenden Ring ist. Für Matrizen über einem Körper ist dies genau dann der Fall, wenn \(\det(A) \neq 0\) gilt.

Determinante einer Dreiecksmatrix

Die Determinante einer Dreiecks- oder Diagonalmatrix \(A\) entspricht dem Produkt der Hauptdiagonalelemente:

\begin{align*} \det(A) &= \prod\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}} \\[0.5em] &= a_{11} \cdot \ldots \cdot a_{nn}. \end{align*}

Determinantenproduktsatz

Für quadratische Matrizen \(A\) und \(B\) derselben Größe gilt der Determinantenproduktsatz (auch Determinantenmultiplikationssatz), der besagt, dass die Determinate des Produkts \(A \cdot B\) dem Produkt der Determinanten der Matrizen \(A\) und \(B\) entspricht:

\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B).

Determinante und skalare Multiplikation

Bei der skalaren Multiplikation einer \(n \times n\) Matrix \(A\) mit einem Skalar \(\lambda\) verändert sich die Determinante der Matrix und es gilt:

\det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \cdot \det(A).

Weitere Eigenschaften

Für Determinanten gelten unter anderem die folgenden weiteren Eigenschaften:

Besitzt die Matrix \(A\) eine Nullzeile oder -spalte, so gilt \(\det(A) = 0\).
Besitzt die Matrix \(A\) zwei identische Zeilen oder Spalten, so gilt \(\det(A) = 0\).
Sind die Zeilen bzw. Spalten der Matrix linear abhängig, so gilt \(\det(A) = 0\); sind die Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig, so gilt \(\det(A) \neq 0\).
Die Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\det(A)\) eine Einheit im zugrundeliegenden Ring ist. Für Matrizen über einem Körper ist dies genau dann der Fall, wenn \(\det(A) \neq 0\) gilt.
Ein lineares Gleichungssystem \(Ax=b\) mit \(n\) Gleichungen und \(n\) Variablen ist genau dann eindeutig lösbar, wenn für die Determinante der \(n \times n\) Koeffizientenmatrix \(\det(A) \neq 0\) gilt.

Geometrische Interpretation

Werden \(n\) Vektoren des \(\R^n\) als Spalten einer Matrix geschrieben, so kann die Determinante der resultierenden (quadratischen) Matrix berechnet werden. Sind die Vektoren zudem linear unabhängig und bilden folglich eine Basis des \(\R^n\), so gilt:

Das Vorzeichen der Determinante kann verwendet werden, um die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren.
Handelt es sich bei \(v_1,v_2\) um zwei Vektoren des \(\R^2\), so handelt es sich beim Betrag der Determinante um die Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Handelt es sich bei \(v_1,v_2,v_3\) um drei Vektoren des \(\R^3\), so handelt es sich beim Betrag der Determinante um das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds bzw. Spats.
Handelt es sich bei \(v_1,\ldots,v_n\) um Vektoren des \(\R^n\), so handelt es sich beim Betrag der Determinante um das Volumen des durch die Vektoren aufgespannten \(n\)-Parallelotops.

Beispiele

In den folgenden Beispielen wird die Determinante der reellen \(3 \times 3\) Matrix

A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 & 6 \\[0.25em] 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

mit den verschiedenen, zuvor beschriebenen Verfahren bestimmt.

Beispiel 1: Leibniz-Formel

Mithilfe der 6 Permutationen der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_3\) kann die Leibniz-Formel wie folgt berechnet werden:

Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} = - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -8\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} = - 6 \cdot 2 \cdot 0 = 0\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} = - 2 \cdot 6 \cdot 1 = -12\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} = 4 \cdot 6 \cdot 0 = 0\).
Für \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der folgende Summand: \({} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} = 6 \cdot 1 \cdot 1 = 6\).

Für die gesuchte Determinante ergibt sich somit:

\begin{align*} \det(A) &= \sum\limits_{\sigma \in \mathcal{S}_3}{\sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i=1}^{3}{a_{i,\sigma(i)}}} \\[0.5em] &= 8 + (-8) + 0 + (-12) + 0 + 6 \\[0.5em] &= -6. \end{align*}

Beispiel 2: Regel von Sarrus

Da es sich bei der Matrix um eine \(3 \times 3\) Matrix handelt, kann ihre Determinante mit der Regel von Sarrus berechnet werden. Hierzu wird die Matrix zunächst rechts um die ersten beiden Spalten ergänzt, und anschließend werden die Produkte der Diagonalen addiert und die Produkte der Gegendiagonalen subtrahiert.

Für die Determinante ergibt sich somit:

\begin{align*} \det(A) &= 2 \cdot 2 \cdot 2 + 4 \cdot 6 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \cdot 1 \\[0.5em] &\qquad {} - 6 \cdot 2 \cdot 0 - 2 \cdot 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \\[0.5em] &= -6. \end{align*}

Beispiel 3: Entwicklung nach der ersten Zeile

Mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes kann die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt werden. Es gilt:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 & 6 \\[0.25em] 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\[0.25em] \Box & 2 & 6 \\[0.25em] \Box & 1 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\[0.25em] 1 & \Box & 6 \\[0.25em] 0 & \Box & 2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\[0.25em] 1 & 2 & \Box \\[0.25em] 0 & 1 & \Box \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 6 \\[0.25em] 0 & 2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[0.25em] 0 & 1 \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \underbrace{\bigl( 2 \cdot 2 - 6 \cdot 1 \bigr)}_{=\ -2} - 4 \cdot \underbrace{\bigl( 1 \cdot 2 - 6 \cdot 0 \bigr)}_{=\ 2} + 6 \cdot \underbrace{\bigl( 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \bigr)}_{=\ 1} \\[0.75em] &= -6. \end{align*}

Die Determinante der \(3 \times 3\) Matrix \(A\) wurde berechnet, indem sie auf die Determinanten von drei \(2 \times 2\) Untermatrizen zurückgeführt wurde; diese wurden mithilfe der expliziten Formel für die Determinante von \(2 \times 2\) Matrizen berechnet. Alternativ wäre es auch möglich gewesen, diese mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz zu ermitteln.

Beispiel 4: Entwicklung nach der ersten Spalte

Mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes kann die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt werden. Es gilt:

\begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 & 6 \\[0.25em] 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\[0.25em] \Box & 2 & 6\\[0.25em] \Box & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} \Box & 4 & 6 \\[0.25em] \Box & \Box & \Box \\[0.25em] \Box & 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} \Box & 4 & 6 \\[0.25em] \Box & 2 & 6 \\[0.25em] \Box & \Box & \Box \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\[0.25em] 1 & 2 \end{vmatrix} \\[0.75em] &= 2 \cdot \underbrace{\bigl( 2 \cdot 2 - 6 \cdot 1 \bigr)}_{=\ -2} - 1 \cdot \underbrace{\bigl( 4 \cdot 2 - 6 \cdot 1 \bigr)}_{=\ 2} \\[0.75em] &= -6. \end{align*}

Beispiel 5: Berechnung mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren

Die Determinante der Matrix \(A\) kann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden, indem die Matrix \(A\) zunächst in eine Matrix \(A'\) in Zeilenstufenform überführt wird. Es gilt:

\begin{array}{rrr|l} 2 & 4 & 6 & \text{I} \cdot \frac{1}{2} \\[0.25em] 1 & 2 & 6 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 1 & 2 & 6 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 3 & \text{II} \leftrightarrow \text{III} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & \end{array}

Die Determinante der Matrix \(A'\) kann nun unmittelbar als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden. Es gilt:

\begin{align*} \det(A') &= 1 \cdot 1 \cdot 1 \\[0.5em] &= 1. \end{align*}

Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Determinante durch die durchgeführten elementaren Zeilenumformungen verändert wurde:

Im ersten Schritt wurde die erste Zeile mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert – und somit auch die Determinante.
Im zweiten Schritt wurde die erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert – die Determinante hat sich hierdurch nicht verändert.
Im dritten Schritt wurden die zweite und die dritte Zeile vertauscht – die Determinante wurde somit mit \(-1\) multipliziert.
Im vierten Schritt wurde die dritte Zeile mit \(\frac{1}{3}\) multipliziert – und somit auch die Determinante.

Für die Determinante der Matrix \(A'\) gilt somit

\det(A') = \det(A) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{3},

woraus sich die gesuchte Determinante der Matrix \(A\) durch Umstellen wie folgt ergibt:

\begin{align*} \det(A) &= \det(A') \cdot 3 \cdot (-1) \cdot 2 \\[0.5em] &= \det(A') \cdot (-6) \\[0.5em] &= 1 \cdot (-6) \\[0.5em] &= -6. \end{align*}

Hinweis: Teilweise wird anstelle des Gaußschen Eliminationsverfahrens eine leicht modifizierte Variante verwendet, bei der auf die führenden Einsen verzichtet wird, um den Aufwand beim Zurückführen auf die Determinante der Originalmatrix zu reduzieren.

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