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Skalare Multiplikation von Matrizen

Bei der skalaren Multiplikation wird das Produkt eines Skalars und einer Matrix berechnet, indem diese komponentenweise mit dem Skalar multipliziert wird.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring mit Eins oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der skalaren Multiplikation einer \(m \times n\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit einem Skalar \(\lambda \in \mathcal{R}\) handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R} \times \mathcal{R}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}^{m \times n}\), bei der die \(m \times n\) Ergebnismatrix berechnet wird, indem die Matrix \(A\) elementweise mit dem Skalar \(\lambda\) multipliziert wird.

  • Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{2 \times 2}$ gilt exemplarisch:
    \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{3 \times 3}$ gilt entsprechend:
    \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \lambda \cdot a_{13} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \lambda \cdot a_{23} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{31} & \lambda \cdot a_{32} & \lambda \cdot a_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt allgemein:
    \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \ldots & \lambda \cdot a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \lambda \cdot a_{m1} & \ldots & \lambda \cdot a_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}
    Oder kompakt:
    \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Beispiele

Das folgende Beispiel zeigt eine skalare Multiplikation für eine Matrix des $\R^{3 \times 2}$:

\[ 4 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & 20 \\ 0 & 20 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die skalare Multiplikation für $\lambda,\mu \in \mathcal{R}$ und $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ ist assoziativ; es gilt:

\[ \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot A = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot A \bigr). \]

Die Assoziativität der skalaren Multiplikation kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot A &\overset{(1)}{=} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ (\lambda \cdot \mu) \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot (\mu \cdot a_{ij}) \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lambda \cdot {\Bigl[ \mu \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot \left( \mu \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot A \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) durch die konkrete Matrix
(2)
  • Ausrechnen von \((\lambda \cdot \mu) \cdot A\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(3)
  • Die Gleichheit \((\lambda \cdot \mu) \cdot a_{ij} = \lambda \cdot (\mu \cdot a_{ij})\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Herausziehen des Skalars \(\lambda\) aus der Matrix \(\lambda \cdot (\mu \cdot A)\) mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(5)
  • Herausziehen des Skalars \(\mu\) aus der Matrix \(\mu \cdot A\) mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(6)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Distributivität

Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (links-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Matrizen. Für \(\lambda \in \mathcal{R}\) und \(A, B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) gilt:

\[ \lambda \cdot \bigl( A \pm B \bigr) = \bigl( \lambda \cdot A \bigr) \pm \bigl( \lambda \cdot B \bigr). \]

Die Linksdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Matrizen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \lambda \cdot \bigl( A \pm B \bigr) &\overset{(1)}{=} \lambda \cdot \left( {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \pm {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lambda \cdot {\Bigl[ a_{ij} \pm b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot (a_{ij} \pm b_{ij}) \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \pm \lambda \cdot b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \pm {\Bigl[ \lambda \cdot b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \pm \lambda \cdot {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \lambda \cdot A \pm \lambda \cdot B. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) und \(B\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(A \pm B\) gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Matrizen
(3)
  • Ausrechnen von \(\lambda \cdot (A \pm B)\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(4)
  • Die Gleichheit \(\lambda \cdot (a_{ij} \pm b_{ij}) = \lambda \cdot a_{ij} \pm \lambda \cdot b_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt aufgrund der Distributivität im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(5)
  • Aufteilen der Matrix \(\lambda \cdot A \pm \lambda \cdot B\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Matrizen
(6)
  • Herausziehen des Skalars \(\lambda\) aus der Matrix \(\lambda \cdot A\) bzw. \(\lambda \cdot B\) mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(7)
  • Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A\) und \(B\)

Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (rechts-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Skalaren. Für \(\lambda, \mu \in \mathcal{R}\) und \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) gilt:

\[ \bigl( \lambda \pm \mu \bigr) \cdot A = \bigl( \lambda \cdot A \bigr) \pm \bigl( \mu \cdot A \bigr). \]

Die Rechtsdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Skalaren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot A &\overset{(1)}{=} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ (\lambda \pm \mu) \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \pm \mu \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \pm {\Bigl[ \mu \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \pm \mu \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot A \pm \mu \cdot A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) durch die konkrete Matrix
(2)
  • Ausrechnen von \((\lambda \pm \mu) \cdot A\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(3)
  • Die Gleichheit \((\lambda \pm \mu) \cdot a_{ij} = \lambda \cdot a_{ij} \pm \mu \cdot a_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt aufgrund der Distributivität im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Aufteilen der Matrix \(\lambda \cdot A + \mu \cdot A\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Matrizen
(5)
  • Herausziehen der Skalare \(\lambda\) und \(\mu\) aus den Matrizen \(\lambda \cdot A\) bzw. \(\mu \cdot A\) mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(6)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)

Neutrales Element

Das neutrale Element $1_\mathcal{R}$ der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation; es gilt:

\[ 1_\mathcal{R} \cdot A = A. \]

Das Einselement \(1_\mathcal{R}\) ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation, denn es gilt:

\begin{align*} 1_\mathcal{R} \cdot A &\overset{(1)}{=} 1_\mathcal{R} \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ 1_\mathcal{R} \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) durch die konkrete Matrix
(2)
  • Ausrechnen von \(1_\mathcal{R} \cdot A\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Matrizen
(3)
  • Die Gleichheit \(1_\mathcal{R} \cdot a_{ij} = a_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt, da es sich bei \(1_\mathcal{R}\) um das neutrale Element der Multiplikation im unitären Ring \(\mathcal{R}\) handelt, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)