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Addition von Matrizen

Die Matrizenaddition (auch Matrixaddition) ist eine Verknüpfung zweier Matrizen derselben Größe. Das Ergebnis der Matrizenaddition ist eine neue Matrix, die durch komponentenweise Addition der entsprechenden Elemente der beiden Ausgangsmatrizen entsteht.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Addition von zwei \(m \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^{m \times n} \times \mathcal{R}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}^{m \times n}\), bei der die \(m \times n\) Ergebnismatrix berechnet wird, indem die beiden Matrizen \(A\) und \(B\) elementweise addiert werden.

  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{2 \times 2}$ gilt exemplarisch:
    \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\[0.25em] b_{21} & b_{22}\end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\[0.25em] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{3 \times 3}$ gilt entsprechend:
    \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\[0.25em] b_{21} & b_{22} & b_{23} \\[0.25em] b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\[0.25em] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\[0.25em] a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt allgemein:
    \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] b_{m1} & \ldots & b_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1}+b_{m1} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}
    Oder kompakt:
    \begin{align*} A + B &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Wichtig: Es können nur Matrizen derselben Größe addiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Addition von zwei $2 \times 2$ Matrizen:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 5 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 6 & 3 + 6 \\ 4 + 5 & 8 + 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 9 \\ 9 & 17 \end{bmatrix} \]

Die Matrizenaddition ist nicht auf zwei Matrizen beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Addition von drei $3 \times 2$ Matrizen zeigt:

\[ \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 3 & 7 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 & 9 \\ 7 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 3 \\ 9 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + 8 + 6 & 6 + 9 + 5 \\ 3 + 7 + 3 & 7 + 5 + 3 \\ 4 + 2 + 9 & 8 + 3 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 20 \\ 13 & 15 \\ 15 & 12 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Matrizen $A,B,C \in \mathcal{R}^{m \times n} $ ist assoziativ; es gilt:

\[ \bigl( A+B \bigr) + C = A + \bigl( B+C \bigr). \]

Die Assoziativität der Addition von Matrizen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl( A+B \bigr) + C &\overset{(1)}{=} \left( {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right) + {\Bigl[ c_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ c_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ (a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} + c_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + \left( {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ c_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} A + \bigl( B+C \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\), \(B\) und \(C\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(A+B\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Addition von \(C\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(4)
  • Die Gleichheit \((a_{ij}+b_{ij})+c_{ij} = a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(5)
  • Aufteilen der Matrix \(A+(B+C)\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition von Matrizen
(6)
  • Aufteilen der Matrix \(B+C\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition von Matrizen
(7)
  • Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A\), \(B\) und \(C\)

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Kommutativität

Die Addition von Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ ist kommutativ; es gilt:

\[ A+B = B+A. \]

Die Kommutativität der Addition von Matrizen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} A+B &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ b_{ij} + a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} B+A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) und \(B\) durch die entsprechenden Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(A+B\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Die Gleichheit \(a_{ij}+b_{ij} = b_{ij}+a_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Aufteilen der Matrix \(B+A\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition von Matrizen
(5)
  • Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A\) und \(B\)

Neutrales Element

Die Nullmatrix $0$ ist das neutrale Element der Addition von Matrizen; es gilt:

\[ 0+A = A = A+0. \]

Die Nullmatrix \(0\) ist linksneutral bezüglich der Matrizenaddition, denn es gilt:

\begin{align*} 0+A &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} + a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die Nullmatrix ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Matrizenaddition.

\begin{align*} A+0 &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(0\) und \(A\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(0+A\) bzw. \(A+0\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Ausrechnen von \(0_\mathcal{R}+a_{ij}\) bzw. \(a_{ij}+0_\mathcal{R}\) ergibt \(a_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)), da \(0_\mathcal{R}\) das neutrale Element der Addition im Ring \(\mathcal{R}\) ist, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)

Inverses Element

Das inverse Element einer Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrix $-A$, bei deren Elementen \(-a_{ij}\) es sich um die additiven Inversen der Elemente \(a_{ij}\) der Matrix \(A\) handelt; es gilt:

\[ \bigl(-A\bigr) + A = 0 = A + \bigl(-A\bigr). \]

Die Matrix \(-A\) ist linksinvers zur Matrix \(A\), denn es gilt:

\begin{align*} \bigl(-A\bigr) + A &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ -a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ (-a_{ij}) + a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die Matrix \(-A\) ebenfalls rechtsinvers ist, und dass es sich somit um das additive Inverse handelt:

\begin{align*} A + \bigl(-A\bigr) &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ -a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + (-a_{ij}) \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) und \(-A\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \((-A)+A\) bzw. \(A+(-A)\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Ausrechnen der Terme \((-a_{ij})+a_{ij}\) bzw. \(a_{ij}+(-a_{ij})\) ergibt \(0_\mathcal{R}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)), da es sich im Ring \(\mathcal{R}\) bei \(-a_{ij}\) um das additive Inverse von \(a_{ij}\) handelt
(4)
  • Definition der Nullmatrix

Matrizenaddition und transponierte Matrizen

Für die transponierte Matrix der Summe von Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt:

\[ {\bigl( A+B \bigr)}^T = A^T + B^T. \]

Die Eigenschaft kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden:

\begin{align*} {\bigl( A+B \bigr)}^T &\overset{(1)}{=} {\left( {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right)}^T \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}^T \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ \alpha_{ij} + \beta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ \alpha_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} + {\Bigl[ \beta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} A^T + B^T. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) und \(B\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(A+B\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Transponieren der Matrix
  • Es gilt \(\alpha_{ij} = a_{ji}\) und \(\beta_{ij} = b_{ji}\)
(4)
  • Aufteilen der Matrix \({(A+B)}^T\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Addition von Matrizen
(5)
  • Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A^T\) und \(B^T\)