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Subtraktion von Matrizen

Die Matrizensubtraktion (auch Matrixsubtraktion) ist eine Verknüpfung zweier Matrizen derselben Größe. Das Ergebnis der Matrizensubtraktion ist eine neue Matrix, die durch komponentenweise Subtraktion der entsprechenden Elemente der beiden Ausgangsmatrizen entsteht.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Subtraktion von zwei \(m \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^{m \times n} \times \mathcal{R}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}^{m \times n}\), bei der die \(m \times n\) Ergebnismatrix berechnet wird, indem die beiden Matrizen \(A\) und \(B\) elementweise subtrahiert werden.

  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{2 \times 2}$ gilt exemplarisch:
    \begin{align*} A - B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\[0.25em] b_{21} & b_{22}\end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\[0.25em] a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{3 \times 3}$ gilt entsprechend:
    \begin{align*} A - B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\[0.25em] b_{21} & b_{22} & b_{23} \\[0.25em] b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\[0.25em] a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\[0.25em] a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
  • Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt allgemein:
    \begin{align*} A - B &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] b_{m1} & \ldots & b_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & \ldots & a_{1n}-b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1}-b_{m1} & \ldots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}
    Oder kompakt:
    \begin{align*} A - B &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} - {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} - b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Wichtig: Es können nur Matrizen derselben Größe subtrahiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Subtraktion von zwei $2 \times 2$ Matrizen:

\[ \begin{bmatrix} 7 & 7 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 - 1 & 7 - 5 \\ 3 - 1 & 9 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \]

Die Matrizensubtraktion ist nicht auf zwei Matrizen beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Subtraktion von drei $3 \times 2$ Matrizen zeigt:

\[ \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 2 & 8 \\ 6 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 8 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 140617576187760 & 140617576187760 \\ 140617576187760 & 140617576187760 \\ 140617576187760 & 140617576187760 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 6 - 140617576187760 & 7 - 2 - 140617576187760 \\ 2 - 1 - 140617576187760 & 8 - 8 - 140617576187760 \\ 6 - 3 - 140617576187760 & 4 - 1 - 140617576187760 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -140617576187758 & -140617576187755 \\ -140617576187759 & -140617576187760 \\ -140617576187757 & -140617576187757 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Matrizen \(A,B,C \in \mathcal{R}^{m \times n}\) ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( A-B \bigr) - C \neq A - \bigl( B-C \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Matrizen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\[1.5em] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

Kommutativität

Die Subtraktion von Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ A-B \neq B-A. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Matrizen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden:

\begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \\[1.5em] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}. \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Matrizensubtraktion. Die Nullmatrix \(0\) ist lediglich rechts-, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Ein inverses Element der Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ bezüglich der Matrizensubtraktion existiert im Allgemeinen nicht.

Matrizensubtraktion und transponierte Matrizen

Für die transponierte Matrix der Differenz von Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt:

\[ {\bigl( A-B \bigr)}^T = A^T - B^T. \]

Die Eigenschaft kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden:

\begin{align*} {\bigl( A-B \bigr)}^T &\overset{(1)}{=} {\left( {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} - {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \right)}^T \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} - b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}^T \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ \alpha_{ij} - \beta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} {\Bigl[ \alpha_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} - {\Bigl[ \beta_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq m}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} A^T - B^T. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(A\) und \(B\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(A-B\) gemäß Definition der Subtraktion von Matrizen
(3)
  • Transponieren der Matrix
  • Es gilt \(\alpha_{ij} = a_{ji}\) und \(\beta_{ij} = b_{ji}\)
(4)
  • Aufteilen der Matrix \({(A-B)}^T\) auf zwei separate Matrizen mithilfe der Definition der Subtraktion von Matrizen
(5)
  • Ersetzen der konkreten Matrizen durch \(A^T\) und \(B^T\)