Skalare Multiplikation von Matrizen

Bei der skalaren Multiplikation wird das Produkt eines Skalars und einer Matrix berechnet, indem diese komponentenweise mit dem Skalar multipliziert wird.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring mit Eins oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der skalaren Multiplikation einer \(m \times n\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit einem Skalar \(\lambda \in \mathcal{R}\) handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R} \times \mathcal{R}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}^{m \times n}\), bei der die \(m \times n\) Ergebnismatrix berechnet wird, indem die Matrix \(A\) elementweise mit dem Skalar \(\lambda\) multipliziert wird.

• Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{2 \times 2}$ gilt exemplarisch:
  \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}
• Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{3 \times 3}$ gilt entsprechend:
  \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \lambda \cdot a_{13} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \lambda \cdot a_{23} \\[0.25em] \lambda \cdot a_{31} & \lambda \cdot a_{32} & \lambda \cdot a_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
• Für eine Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt allgemein:
  \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \ldots & \lambda \cdot a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \lambda \cdot a_{m1} & \ldots & \lambda \cdot a_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}
  Oder kompakt:
  \begin{align*} \lambda \cdot A &= \lambda \cdot {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Beispiele

Das folgende Beispiel zeigt eine skalare Multiplikation für eine Matrix des $\R^{3 \times 2}$:

Eigenschaften

Assoziativität

Die skalare Multiplikation für $\lambda,\mu \in \mathcal{R}$ und $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ ist assoziativ; es gilt:

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Distributivität

Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (links-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Matrizen. Für \(\lambda \in \mathcal{R}\) und \(A, B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) gilt:

Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (rechts-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Skalaren. Für \(\lambda, \mu \in \mathcal{R}\) und \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) gilt:

Neutrales Element

Das neutrale Element $1_\mathcal{R}$ der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation; es gilt: