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Monoid (Algebra)

Bei einem Monoid handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung besteht, für die das Assoziativgesetz gilt und für die ein neutrales Element existiert.

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Definitionen
Beispiele

Definitionen

Monoid

Bei einem Monoid $\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)$ handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge $M$ und einer auf dieser Menge definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star: M \times M \rightarrow M$ besteht. Es handelt sich bei $\bigl(M,\star\bigr)$ um eine Halbgruppe mit einem neutralen Element, sodass die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $M$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in M: a \star b \in M.$
Die Verknüpfung $\star$ ist assoziativ: $\forall a,b,c \in M: \bigl( a \star b \bigr) \star c = a \star \bigl( b \star c \bigr) = a \star b \star c.$
Es existiert ein neutrales Element $e \in M$: $\forall a \in M: e \star a = a = a \star e.$ Das neutrale Element $e$ ist eindeutig bestimmt und sowohl links- als auch rechtsneutral bezüglich der Verknüpfung $\star$.

Kommutatives bzw. abelsches Monoid

Ein Monoid $\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)$ wird kommutatives bzw. abelsches Monoid genannt, falls über die üblichen Monoideigenschaften hinaus zusätzlich die folgende Eigenschaft gilt:

Die Verknüpfung $\star$ ist kommutativ: $\forall a,b \in M: a \star b = b \star a.$

Untermonoid

Seien $\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)$ ein Monoid und $U \subseteq M$ eine Teilmenge der Trägermenge $M$. Es handelt sich bei $\mathcal{U} = \bigl( U,\star \bigr)$ um ein Untermonoid von $\mathcal{M}$, falls es sich bei $\mathcal{U}$ ebenfalls um ein Monoid handelt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $U$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in U: a \star b \in U.$
Die Trägermenge $U$ enthält das neutrale Element $e$.

Hinweis: Die Assoziativität der Verknüpfung $\star$ für die Elemente aus $U$ gilt implizit aufgrund der Assoziativität in $\mathcal{M}$ und muss nicht separat überprüft werden.

Das Monoid $\mathcal{M}$ wird Obermonoid von $\mathcal{U}$ genannt.

Monoidhomomorphismus

Hauptartikel: Monoidhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ zwischen den Trägermengen zweier Monoide $\mathcal{M}_1 = \bigl( M_1, \star \bigr)$ und $\mathcal{M}_2 = \bigl( M_2, \diamond \bigr)$ wird Monoidhomomorphismus genannt, falls die folgenden Eigenschaften gelten:

Das neutrale Element von $\mathcal{M}_1$ wird auf das neutrale Element von $\mathcal{M}_2$ abgebildet: $\varphi(e_\star) = e_\diamond.$
Die Abbildung $\varphi$ ist strukturerhaltend: $\forall a,b \in M_1: \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b).$

Notation

Multiplikativ geschriebenes Monoid
Oftmals wird anstelle der Verknüpfung $\star$ der gewöhnliche Malpunkt $\cdot$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um ein multiplikativ geschriebenes Monoid. Das neutrale Element wird dann als Einselement bezeichnet und durch $1$ dargestellt. Wie bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann der Malpunkt oftmals weggelassen werden.

Additiv geschriebenes Monoid
Gelegentlich wird anstelle der Verknüpfung $\star$ das gewöhnliche Pluszeichen $+$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um ein additiv geschriebenes Monoid. Das neutrale Element wird dann als Nullelement bezeichnet und durch $0$ dargestellt.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Monoide:

Die Menge der natürlichen Zahlen (inklusive Null) bildet gemeinsam mit der Addition $+$ das kommutative Monoid $(\N \cup \{0\}, +)$ mit dem neutralen Element $0$.
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet gemeinsam mit der Multiplikation $\cdot$ das kommutative Monoid $(\N, \cdot)$ mit dem neutralen Element $1$.
Die Menge der ganzen Zahlen bildet gemeinsam mit der Multiplikation $\cdot$ das kommutative Monoid $(\Z, \cdot)$ mit dem neutralen Element $1$.
Die Menge der quadratischen $n \times n$ Matrizen über einem Körper $K$ bildet gemeinsam mit der Matrizenmultiplikation ein nichtkommutatives Monoid $(K^{n \times n}, \cdot)$; beim neutralen Element handelt es sich um die Einheitsmatrix $E_n$.
Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ einer Menge $A$ bildet gemeinsam mit dem Schnitt von Mengen $\cap$ ein kommutatives Monoid $\bigl(\mathcal{P}(A), \cap\bigr)$; beim neutralen Element handelt es sich um die Menge $A$.
Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ einer Menge $A$ bildet gemeinsam mit der Vereinigung von Mengen $\cup$ ein kommutatives Monoid $\bigl(\mathcal{P}(A), \cup\bigr)$; beim neutralen Element handelt es sich um die leere Menge $\emptyset$.
Generell gilt: Bei allen Gruppen handelt es sich um Monoide.