Bei der skalaren Multiplikation von Polynomen wird das Produkt eines Skalars und eines Polynoms berechnet, indem dieses koeffizientenweise mit dem Skalar multipliziert wird.
Bei der skalaren Multiplikation eines Polynoms $a(x)$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathcal{R}$ handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R} \times \mathcal{R}[x] \rightarrow \mathcal{R}[x]$, bei der das Ergebnispolynom berechnet wird, indem das Polynom $a(x)$ koeffizientenweise mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert wird; es gilt:
Die Gleichheit von $(\lambda \cdot \mu) \cdot a_k\,x^k$ und $\lambda \cdot (\mu \cdot a_k\,x^k)$ gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)
Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(5)
Herausziehen des Faktors $\mu$ aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)
Ersetzen der Summe durch das Polynom $a(x)$
Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.
Ersetzen der Polynome $a(x)$ und $b(x)$ durch die entsprechenden Summen
(2)
Ausrechnen von $a(x) \pm b(x)$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(3)
Hineinziehen des Faktors $\lambda$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(4)
Die Gleichheit $\lambda \cdot (a_k \pm b_k)$ und $\lambda \cdot a_k \pm \lambda \cdot b_k$ gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(5)
Aufteilen der Summe $\lambda \cdot a(x) \pm \lambda \cdot b(x)$ auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(6)
Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(7)
Ersetzen der Summen durch die Polynome $a(x)$ und $b(x)$
Die skalare Multiplikation von Polynomen ist (rechts-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Skalaren. Für $\lambda, \mu \in \mathcal{R}$ und $a(x) \in \mathcal{R}[x]$ gilt:
Ersetzen des Polynoms $a(x)$ durch die entsprechende Summe
(2)
Hineinziehen des Faktors $\lambda \pm \mu)$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)
Die Gleichheit $(\lambda \pm \mu) \cdot a_k$ und $\lambda \cdot a_k \pm \mu \cdot a_k$ gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)
Aufteilen der Summe $\lambda \cdot a(x) \pm \mu \cdot a(x)$ auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(5)
Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)
Ersetzen der Summe durch das Polynom $a(x)$
Neutrales Element
Das neutrale Element $1_\mathcal{R}$ der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation; es gilt:
\[ 1_\mathcal{R} \cdot a(x) = a(x). \]
Das Einselement $1_\mathcal{R}$ ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation, denn es gilt:
Ersetzen des Polynoms $a(x)$ durch die entsprechende Summe
(2)
Hineinziehen des Faktors $1_\mathcal{R}$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)
Die Gleichheit $1_\mathcal{R} \cdot a_k = a_k$ gilt, da es sich bei $1_\mathcal{R}$ um das neutrale Element der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ handelt, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen