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Skalare Multiplikation von Polynomen

Bei der skalaren Multiplikation von Polynomen wird das Produkt eines Skalars und eines Polynoms berechnet, indem dieses koeffizientenweise mit dem Skalar multipliziert wird.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring mit Eins oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der skalaren Multiplikation eines Polynoms $a(x)$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathcal{R}$ handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R} \times \mathcal{R}[x] \rightarrow \mathcal{R}[x]$, bei der das Ergebnispolynom berechnet wird, indem das Polynom $a(x)$ koeffizientenweise mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert wird; es gilt:

\begin{align*} \lambda \cdot a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{\lambda \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &= \lambda \cdot a_0 + \lambda \cdot a_1x + \ldots + \lambda \cdot a_nx^n. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei das nachfolgende Polynom mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\[ a(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1. \]

Für das Produkt $2 \cdot a(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} 2 \cdot a(x) &= 2 \cdot \bigl( 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \bigr) \\[0.5em] &= 2 \cdot 4 x^3 + 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 1 \\[0.5em] &= 8x^3 + 6x^2 + 4x + 2. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei das nachfolgende Polynom mit Koeffizienten aus dem Restklassenring $\Z_6$:

a(x) = {[2]}_6 x^2 + {[1]}_6 x + {[5]}_6.

Für das Produkt ${[3]}_6 \cdot a(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} {[3]}_6 \cdot a(x) &= {[3]}_6 \cdot \big({[2]}_6 x^2 + {[1]}_6 x + {[5]}_6 \bigr) \\[0.5em] &= {[3]}_6 \cdot {[2]}_6 x^2 + {[3]}_6 \cdot {[1]}_6 x + {[3]}_6 \cdot {[5]}_6 \\[0.5em] &= {[3]}_6 x + {[3]}_6. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die skalare Multiplikation für $\lambda,\mu \in \mathcal{R}$ und $a(x) \in \mathcal{R}[x]$ ist assoziativ; es gilt:

\bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot a(x) = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr).

Die Assoziativität der skalaren Multiplikation kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot a(x) &\overset{(1)}{=} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{(\lambda \cdot \mu) \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{\lambda \cdot \bigl( \mu \cdot a_k\,x^k \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \lambda \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{\mu \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot \left( \mu \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms $a(x)$ durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors $\lambda \cdot \mu$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit von $(\lambda \cdot \mu) \cdot a_k\,x^k$ und $\lambda \cdot (\mu \cdot a_k\,x^k)$ gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(5)	Herausziehen des Faktors $\mu$ aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)	Ersetzen der Summe durch das Polynom $a(x)$

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Distributivität

Die skalare Multiplikation von Polynomen ist (links-)distributiv über der Polynomaddition und der Polynomsubtraktion. Für $\lambda \in \mathcal{R}$ und $a(x), b(x) \in \mathcal{R}[x]$ gilt:

\lambda \cdot \bigl( a(x) \pm b(x) \bigr) = \bigl( \lambda \cdot a(x) \bigr) \pm \bigl( \lambda \cdot b(x) \bigr).

Die Linksdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Polynomen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \lambda \cdot \bigl( a(x) \pm b(x) \bigr) &\overset{(1)}{=} \lambda \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \pm \sum\limits_{k=1}^{m}{b_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lambda \cdot \sum\limits_{k=1}^{\max(m,n)}{\bigl( a_k \pm b_k \bigr)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{\max(m,n)}{\lambda \cdot \bigl( a_k \pm b_k \bigr)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=1}^{\max(m,n)}{\bigl( \lambda \cdot a_k \pm \lambda \cdot b_k \bigr)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{\lambda \cdot a_k\,x^k} \pm \sum\limits_{k=1}^{m}{\lambda \cdot b_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \left( \lambda \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \right) \pm \left( \lambda \cdot \sum\limits_{k=1}^{m}{b_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \lambda \cdot a(x) \pm \lambda \cdot b(x). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Polynome $a(x)$ und $b(x)$ durch die entsprechenden Summen
(2)	Ausrechnen von $a(x) \pm b(x)$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(3)	Hineinziehen des Faktors $\lambda$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(4)	Die Gleichheit $\lambda \cdot (a_k \pm b_k)$ und $\lambda \cdot a_k \pm \lambda \cdot b_k$ gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(5)	Aufteilen der Summe $\lambda \cdot a(x) \pm \lambda \cdot b(x)$ auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(6)	Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(7)	Ersetzen der Summen durch die Polynome $a(x)$ und $b(x)$

Die skalare Multiplikation von Polynomen ist (rechts-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Skalaren. Für $\lambda, \mu \in \mathcal{R}$ und $a(x) \in \mathcal{R}[x]$ gilt:

\bigl( \lambda \pm \mu \bigr) \cdot a(x) = \bigl( \lambda \cdot a(x) \bigr) \pm \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr).

Die Rechtsdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Skalaren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot a(x) &\overset{(1)}{=} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{(\lambda \pm \mu) \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{(\lambda \cdot a_k \pm \mu \cdot a_k)\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{\lambda \cdot a_k\,x^k} \pm \sum\limits_{k=1}^{n}{\mu \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \left( \lambda \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \right) \pm \left( \mu \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \right) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \bigl( \lambda \cdot a(x) \bigr) \pm \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms $a(x)$ durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors $\lambda \pm \mu)$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit $(\lambda \pm \mu) \cdot a_k$ und $\lambda \cdot a_k \pm \mu \cdot a_k$ gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Aufteilen der Summe $\lambda \cdot a(x) \pm \mu \cdot a(x)$ auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(5)	Herausziehen des Faktors $\lambda$ aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)	Ersetzen der Summe durch das Polynom $a(x)$

Neutrales Element

Das neutrale Element $1_\mathcal{R}$ der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation; es gilt:

1_\mathcal{R} \cdot a(x) = a(x).

Das Einselement $1_\mathcal{R}$ ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation, denn es gilt:

\begin{align*} 1_\mathcal{R} \cdot a(x) &\overset{(1)}{=} 1_\mathcal{R} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{1_\mathcal{R} \cdot a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a(x). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms $a(x)$ durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors $1_\mathcal{R}$ in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit $1_\mathcal{R} \cdot a_k = a_k$ gilt, da es sich bei $1_\mathcal{R}$ um das neutrale Element der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ handelt, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Ersetzen der Summe durch das Polynom $a(x)$

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms \(a(x)\) durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors \(\lambda \cdot \mu\) in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit von \((\lambda \cdot \mu) \cdot a_k\,x^k\) und \(\lambda \cdot (\mu \cdot a_k\,x^k)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Herausziehen des Faktors \(\lambda\) aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(5)	Herausziehen des Faktors \(\mu\) aus der Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)	Ersetzen der Summe durch das Polynom \(a(x)\)

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\) durch die entsprechenden Summen
(2)	Ausrechnen von \(a(x) \pm b(x)\) gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(3)	Hineinziehen des Faktors \(\lambda\) in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(4)	Die Gleichheit \(\lambda \cdot (a_k \pm b_k)\) und \(\lambda \cdot a_k \pm \lambda \cdot b_k\) gilt aufgrund der Distributivität im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(5)	Aufteilen der Summe \(\lambda \cdot a(x) \pm \lambda \cdot b(x)\) auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(6)	Herausziehen des Faktors \(\lambda\) aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(7)	Ersetzen der Summen durch die Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\)

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms \(a(x)\) durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors \(\lambda \pm \mu)\) in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit \((\lambda \pm \mu) \cdot a_k\) und \(\lambda \cdot a_k \pm \mu \cdot a_k\) gilt aufgrund der Distributivität im Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Aufteilen der Summe \(\lambda \cdot a(x) \pm \mu \cdot a(x)\) auf zwei separate Summen mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Polynomen
(5)	Herausziehen des Faktors \(\lambda\) aus den Summen mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(6)	Ersetzen der Summe durch das Polynom \(a(x)\)

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des Polynoms \(a(x)\) durch die entsprechende Summe
(2)	Hineinziehen des Faktors \(1_\mathcal{R}\) in die Summe mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes
(3)	Die Gleichheit \(1_\mathcal{R} \cdot a_k = a_k\) gilt, da es sich bei \(1_\mathcal{R}\) um das neutrale Element der Multiplikation im unitären Ring \(\mathcal{R}\) handelt, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen
(4)	Ersetzen der Summe durch das Polynom \(a(x)\)