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Distributivgesetz

Die Distributivgesetze (bzw. die Distributivität) beschreiben elementare mathematische Regeln, die festlegen, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen beim Auflösen von Klammern zueinander verhalten. Zu den bekannten Anwendungen gehören beispielsweise das Ausmultiplizieren und das Ausklammern.

Die Distributivgesetze gehören neben dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz zu den grundlegenden Regeln der Algebra.

Inhalt

Definition

Gegeben seien eine Menge $A$ sowie zwei innere zweistellige Verknüpfungen $\star$ und $\diamond$ auf $A$. Die Verknüpfung $\star$ heißt

  • linksdistributiv über $\diamond$, wenn für alle Elemente $a,b,c \in A$ gilt:
    \[ a \star \bigl( b \diamond c \bigr) = \bigl( a \star b \bigr) \diamond \bigl( a \star c \bigr). \]
  • rechtsdistributiv über $\diamond$, wenn für alle Elemente $a,b,c \in A$ gilt:
    \[ \bigl( a \diamond b \bigr) \star c = \bigl( a \star c \bigr) \diamond \bigl( b \star c \bigr). \]
  • distributiv über $\diamond$, wenn sie sowohl links- als auch rechtsdistributiv ist.

Falls die Verknüpfung $\star$ kommutativ ist, so sind diese Bedingungen äquivalent.

Definition (allgemeines Distributivgesetz)

Gegeben seien eine Menge $A$ sowie zwei innere zweistellige Verknüpfungen $\star$ und $\diamond$ auf $A$. Das allgemeine Distributivgesetz beschreibt, wie sich die Operationen $\star$ und $\diamond$ bei der Auflösung von Klammern verhalten. Für die Elemente $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m \in A$ gilt:

\begin{align*} \bigl( a_1 \diamond a_2 \diamond \ldots \diamond a_n \bigr) \star \bigl( b_1 \diamond b_2 \diamond \ldots \diamond b_m \bigr) &= \bigl( a_1 \star b_1 \bigr) \diamond \bigl( a_1 \star b_2 \bigr) \diamond \ldots \diamond \bigl( a_1 \star b_m \bigr) \\[0.5em] &\qquad\diamond \bigl( a_2 \star b_1 \bigr) \diamond \bigl( a_2 \star b_2 \bigr) \diamond \ldots \diamond \bigl( a_2 \star b_m \bigr) \\[0.5em] &\qquad \ldots \\[0.5em] &\qquad\diamond \bigl( a_n \star b_1 \bigr) \diamond \bigl( a_n \star b_2 \bigr) \diamond \ldots \diamond \bigl( a_n \star b_m \bigr). \end{align*}

Werden anstelle der Verknüpfungen $\star$ und $\diamond$ die gewöhnliche Multiplikation $\cdot$ und die Addition $+$ verwendet, so lässt sich das allgemeine Distributivgesetz mithilfe des Summenzeichens besonders kurz darstellen:

\[ \left( \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} \right) \cdot \left( \sum\limits_{j=1}^{m}{b_j} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{m}{a_i \cdot b_j}}. \]

Beispiele

Reelle Zahlen

Die Multiplikation ist distributiv über der Addition und der Subtraktion der reellen Zahlen. Für alle Elemente $a,b,c \in \R$ gilt:

\begin{align*} a \cdot \bigl( b \pm c \bigr) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\[0.5em] \bigl( a \pm b \bigr) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c. \end{align*}

Die Division ist rechts- aber nicht linksdistributiv über der Addition und der Subtraktion der reellen Zahlen. Für alle Elemente $a,b,c \in \R$ gilt:

\begin{align*} \bigl( a \pm b \bigr) \div c &= a \div c \pm b \div c \\[0.5em] a \div \bigl( b \pm c \bigr) &\neq a \div b \pm a \div c. \end{align*}

Die Aussagen zur Distributivität der Verknüpfungen von reellen Zahlen gelten in identischer Form auch für die Menge $\N$ der natürlichen Zahlen, die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen, die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen und die Menge $\C$ der komplexen Zahlen.

Mengen

Für die Vereinigung $\cup$, den Schnitt $\cap$ und die symmetrische Differenz $\triangle$ von Mengen $A$, $B$ und $C$ gelten exemplarisch die folgenden Distributivgesetze:

\begin{align*} A \cap \bigl( B \cup C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \cup \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \cup B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \cup \bigl( B \cap C \bigr) \\[1.0em] A \cup \bigl( B \cap C \bigr) &= \bigl( A \cup B \bigr) \cap \bigl( A \cup C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \cap B \bigr) \cup C &= \bigl( A \cup C \bigr) \cap \bigl( B \cup C \bigr) \\[1.0em] A \cap \bigl( B \mathop{\triangle} C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \mathop{\triangle} B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( B \cap C \bigr). \end{align*}

Matrizen

Die Matrizenmultiplikation ist distributiv über der Matrizenaddition und der Matrizensubtraktion. Da die Matrizenmultiplikation jedoch nicht kommutativ ist, gelten zwei separate Distributivgesetze, die nicht auseinander hervorgehen:

  • Für alle $m \times n$ Matrizen $A$ und alle $n \times p$ Matrizen $B$, $C$ gilt:
    \[ A \cdot \bigl( B \pm C \bigr) = A \cdot B \pm A \cdot C. \]
  • Für alle $m \times n$ Matrizen $A$, $B$ und alle $n \times p$ Matrizen $C$ gilt:
    \[ \bigl( A \pm B \bigr) \cdot C = A \cdot C \pm B \cdot C. \]