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Gauß-Jordan-Algorithmus

Beim Gauß-Jordan-Algorithmus (auch Gauß-Jordan-Verfahren, Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren oder kurz Gauß-Jordan-Elimination genannt) handelt es sich um einen Algorithmus aus den Bereichen der linearen Algebra und der Numerik, der eine Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt. Er wird häufig zum Lösen von linearen Gleichungssystemen oder zum Bestimmen der inversen Matrix verwendet. Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist eine Erweiterung des Gaußschen Eliminationsverfahrens und unterscheidet sich von diesem im Wesentlichen darin, dass die Matrix nicht nur in Zeilenstufenform, sondern in reduzierte Zeilenstufenform überführt wird, was beispielsweise das Rückwärtseinsetzen stark vereinfacht und oftmals speziell ausgezeichnete Lösungen hervorbringt, die nicht von der Reihenfolge der durchgeführten elementaren Zeilenumformungen abhängig sind.

Namensgebend für den Gauß-Jordan-Algorithmus ist neben dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß der deutsche Geodät Wilhelm Jordan.

Hinweis zur Terminologie: Der Gauß-Jordan-Algorithmus beschreibt allgemein das Verfahren, wie eine Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt wird. Er ist nicht an einen speziellen Kontext gebunden, obgleich er oftmals – wie auch in diesem Artikel – als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme eingeführt und definiert wird. Für das Überführen einer beliebigen Matrix in reduzierte Zeilenstufenform sind ausschließlich die nachfolgend beschriebene Vorwärts- und Rückwärtselimination relevant.

Beschreibung des Verfahrens

Hauptartikel: Gaußsches Eliminationsverfahren

Hinweis: Die nachfolgenden Abschnitte decken sich in Teilen mit der Beschreibung des Gaußschen Eliminationsverfahrens, da das Gauß-Jordan-Verfahren direkt auf diesem aufbaut.

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $Ax=b$. Hierin repräsentiert die Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ die Koeffizientenmatrix mit Einträgen aus einem Körper $\mathcal{K}$, der Vektor $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathcal{K}^n$ steht für die $n$ Unbekannten (bzw. die Variablen) $x_1,\ldots,x_n$ und der Vektor $b = (b_1,\ldots,b_m) \in \mathcal{K}^m$ stellt den Ergebnisvektor dar.

In expliziter Form lautet das Gleichungssystem wie folgt:

\begin{alignedat}{4} a_{11}x_1 &\ + &\ a_{12}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 &\ + &\ a_{22}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{2n}x_n &\ = &\ b_2 \\[0.5em] \vdots\quad &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \ddots &\ &\ \vdots\quad &\ & \vdots \ \, \\[0.5em] a_{m1}x_1 &\ + &\ a_{m2}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{mn}x_n &\ = &\ b_m \end{alignedat}

Zur vereinfachten Darstellung bietet es sich an, anstelle der expliziten Form des linearen Gleichungssystems die erweiterte Koeffizientenmatrix $\lbrack A \mid b \rbrack$ zu verwenden, die entsteht, wenn die Koeffizientenmatrix $A$ um den Ergebnisvektor $b$ erweitert wird. Jede Zeile repräsentiert dabei eine der ursprünglichen Gleichungen. Jede Spalte der Koeffizientenmatrix repräsentiert eine der Variablen.

\[ \bigl\lbrack A \mid b \bigr\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\[0.5em] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\, \vdots \\[0.5em] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right\rbrack \]
Darstellung einer erweiterten Koeffizientenmatrix

Vorwärtselimination

Im ersten Schritt wird – wie im Gaußschen Eliminationsverfahren üblich – die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Vorwärtselimination zunächst in Zeilenstufenform überführt; dabei werden die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix und somit auch die repräsentierten Gleichungen transformiert – nicht jedoch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Die Zeilenstufenform hat die sehr nützliche Eigenschaft, dass in jeder Nichtnullzeile der Matrix mindestens eine Variable weniger auftritt als in der darüberliegenden Zeile, dass also pro Zeile mindestens eine Variable eliminiert wird.

Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht mithilfe elementarer Zeilenumformungen:

  • Vertauschen von zwei Zeilen;
  • Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten;
  • Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Der Gauß-Algorithmus zum Überführen der Matrix in Zeilenstufenform besteht aus den folgenden Schritten:

  1. Bestimmen der am weitesten links stehenden Spalte, die von Null verschiedene Elemente enthält.
  2. Vertauschen der obersten Zeile mit einer geeigneten, darunterliegenden Zeile, falls der oberste Eintrag der Spalte eine Null ist, um einen von Null verschiedenen obersten Spalteneintrag $a$ zu erhalten. Strategien zur Auswahl der optimalen Zeile werden im Artikel zum Gauß-Verfahren unter Pivotisierung beschrieben.
  3. Multiplikation der obersten Zeile mit dem multiplikativen Inversen $a^{-1}$ des ersten Elements $a$, um eine führende Eins zu erhalten, falls das führende Element ungleich Eins ist.
  4. Addition von geeigneten Vielfachen der obersten Zeile zu den darunterliegenden Zeilen, um alle unter der führenden Eins stehenden Elemente zu Null zu machen.
  5. Streichen der Zeile und Spalte des aktuellen führenden Elements und Wiederholen der Schritte 1-4 für die resultierende Matrix, bis die Matrix in Zeilenstufenform vorliegt.

Die erhaltene Matrix $\lbrack A^\star \mid b^\star \rbrack$ liegt nun in Zeilenstufenform vor. Für den Fall einer quadratischen Koeffizientenmatrix mit vollem Rang sieht dies exemplarisch wie folgt aus:

\[ \bigl\lbrack A^\star \mid b^\star \bigr\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{cccc|c} 1_\mathcal{K} & a_{12}^\star & \cdots & a_{1n}^\star & b_1^\star \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 1_\mathcal{K} & \cdots & a_{2n}^\star & b_2^\star \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K}& \cdots & 1_\mathcal{K} & b_m^\star \end{array}\right\rbrack \]
Darstellung einer erweiterten Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform

Hinweis: An der Zeilenstufenform kann nun geprüft werden, ob das lineare Gleichungssystem lösbar oder unlösbar ist. Besitzt die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform eine Zeile der Form

\[ \left\lbrack\begin{array}{cccc|c} 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \cdots & 0_\mathcal{K} & b^\star \end{array}\right\rbrack \]

für ein $b^\star \neq 0_\mathcal{K}$, so ist das Gleichungssystem unlösbar, da diese Zeile der folgenden, unlösbaren bzw. widersprüchlichen Gleichung entspricht:

\[ \underbrace{0_\mathcal{K} \cdot x_1 + 0_\mathcal{K} \cdot x_2 + \ldots + 0_\mathcal{K} \cdot x_n}_{{} = 0_\mathcal{K}} \overset{\unicode{x21af}}{=} b^\star. \]

Rückwärtselimination

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform beschreibt der nachfolgende Schritt, die Rückwärtselimination, nun die Erweiterung des Gauß-Verfahrens zum Gauß-Jordan-Verfahren:

  1. Beginnend mit der untersten Zeile: Addition von geeigneten Vielfachen der unteren Zeilen zu den darüberliegenden Zeilen, um oberhalb aller führenden Einsen ebenfalls Nullen zu erhalten.

Die erhaltene Matrix $\bigl\lbrack A^\ast \mid b^\ast \bigr\rbrack$ liegt nun in reduzierter Zeilenstufenform vor. Diese hat die besondere Eigenschaft, dass ober- und unterhalb der führenden Einsen nur Nullen stehen. Für den bereits zuvor betrachteten Fall einer quadratischen Koeffizientenmatrix mit vollem Rang sieht dies exemplarisch wie folgt aus:

\[ \left\lbrack A^\ast \mid b^\ast \right\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{cccc|c} 1_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \cdots & 0_\mathcal{K} & b_1^\ast \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 1_\mathcal{K} & \cdots & 0_\mathcal{K} & b_2^\ast \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \cdots & 1_\mathcal{K} & b_m^\ast \end{array}\right\rbrack \]
Darstellung einer erweiterten Koeffizientenmatrix in reduzierter Zeilenstufenform

Ablesen der Lösung

Im Gegensatz zum Gaußschen Eliminationsverfahren, bei dem die Variablen nach dem Überführen in Zeilenstufenform durch Rückwärtseinsetzen bestimmt werden müssen, können diese beim Gauß-Jordan-Verfahren an der reduzierten Zeilenstufenform direkt abgelesen werden. Hierbei treten zwei typische Fälle auf:

  • Fall 1: eindeutige Lösung
    Falls das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wurde die Koeffizientenmatrix in die Einheitsmatrix überführt und besitzt auf ihrer Hauptdiagonalen nur Einsen, während alle anderen Einträge Null sind. In diesem Fall können die Variablen unmittelbar abgelesen werden und es gilt:
    \[ x_i = b_i^\ast. \]
  • Fall 2: unendlich viele Lösungen
    Abhängig vom zu lösenden linearen Gleichungssystem kann es vorkommen, dass die Matrix $\lbrack A^\ast \mid b^\ast \rbrack$ in reduzierter Zeilenstufenform weniger Nichtnullzeilen als Variablen besitzt. Dies ist der Fall, wenn beim Überführen in Zeilenstufenform Nullzeilen entstehen oder wenn das Gleichungssystem von Anfang an bereits mehr Variablen als Gleichungen besitzt. In diesem Fall werden die Variablen in führende und freie Variablen unterschieden, abhängig davon, ob in den zu den Variablen gehörenden Spalten der erweiterten Koeffizientenmatrix in reduzierter Zeilenstufenform eine führende Eins enthalten ist, oder nicht. Jeder freien Variable wird ein Parameter aus dem zugrundeliegenden Körper $\mathcal{K}$ zugewiesen; im Anschluss können die führenden Variablen durch Umstellen der Gleichungen direkt bestimmt werden, da jede Nichtnullzeile (nach Einsetzen der Parameter) nur noch exakt eine Variable besitzt. Das Gleichungssystem besitzt in diesem Fall unendlich viele Lösungen.

Hinweis: Falls das Gleichungssystem überbestimmt ist, falls es also mehr Gleichungen als Variablen besitzt, so gelten die obigen Aussagen in analoger Form, da alle überschüssigen Gleichungen in der erweiterten Koeffizientenmatrix zu Nullzeilen werden, sofern beim Überführen in (reduzierte) Zeilenstufenform kein Widerspruch entsteht, der zur Unlösbarkeit des Gleichungssystems führt – wie bereits zuvor beschrieben.

Beispiele

Beispiel 1

In diesem Beispiel, dessen Werte dem ersten Beispiel des Gaußschen Eliminationsverfahrens entsprechen, wird das nachfolgende, eindeutig lösbare, lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen betrachtet.

\begin{alignedat}{4} x_1 &\ - &\ x_2 &\ - &\ 2x_3 &\ = &\ 1 \\[0.5em] -x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ + &\ 4x_3 &\ = &\ 1 \\[0.5em] -3x_1 &\ + &\ 4x_2 &\ + &\ 11x_3 &\ = &\ 8 \end{alignedat}

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[ \left\lbrack \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -2 & 1 \\[0.25em] -1 & 2 & 4 & 1 \\[0.25em] -3 & 4 & 11 & 8 \end{array} \right\rbrack \]

Diese wird anschließend in Zeilenstufenform überführt. Die jeweils durchzuführenden elementaren Zeilenumformungen stehen rechts neben den betroffenen Zeilen der Matrix.

\[ \begin{array}{rrr|r|l} 1 & -1 & -2 & 1 & \\[0.25em] -1 & 2 & 4 & 1 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em] -3 & 4 & 11 & 8 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & -1 & -2 & 1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 2 & \\[0.25em] 0 & 1 & 5 & 11 & \text{III} - \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & -1 & -2 & 1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 3 & 9 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em] \hline 1 & -1 & -2 & 1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 3 & \end{array} \]

Ausgehend von der untersten Zeile der Matrix werden nun geeignete Vielfache der Zeilen zu den darüberliegenden Zeilen addiert, um oberhalb der führenden Einsen ebenfalls Nullen zu erzeugen und die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform zu überführen.

\[ \begin{array}{rrr|r|l} 1 & -1 & -2 & 1 & \text{I} + 2 \cdot \text{III} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 2 & \text{II} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 3 & \\[0.25em] \hline 1 & -1 & 0 & 7 & \text{I} + \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & -4 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 3 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & 0 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 0 & -4 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 3 & \end{array} \]

Am letzten Schritt kann die Gesamtlösung des linearen Gleichungssystems nun direkt abgelesen werden:

\[ x = \left\lbrack\begin{array}{r} x_1 \\[0.25em] x_2 \\[0.25em] x_3 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{r} 3 \\[0.25em] -4 \\[0.25em] 3 \end{array}\right\rbrack. \]

Beispiel 2

In diesem Beispiel wird ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen betrachtet, das unendlich viele Lösungen besitzt. Zur besseren Vergleichbarkeit entsprechen die Werte denen des zweiten Beispiels des Gauß-Verfahrens.

\begin{alignedat}{5} x_1 &\ - &\ 3x_2 &\ - &\ x_3 &\ + &\ 3x_4 &\ = &\ 0 \\[0.5em] 2x_1 &\ - &\ 6x_2 &\ - &\ x_3 &\ + &\ 7x_4 &\ = &\ 3 \\[0.5em] -3x_1 &\ + &\ 9x_2 &\ + &\ 5x_3 &\ - &\ 7x_4 &\ = &\ 6 \end{alignedat}

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[ \left\lbrack \begin{array}{rrrr|r} 1 & -3 & -1 & 3 & 0 \\[0.25em] 2 & -6 & -1 & 7 & 3 \\[0.25em] -3 & 9 & 5 & -7 & 6 \end{array} \right\rbrack \]

Diese wird anschließend in Zeilenstufenform überführt. Die jeweils durchzuführenden elementaren Zeilenumformungen stehen rechts neben den betroffenen Zeilen der Matrix.

\[ \begin{array}{rrrr|r|l} 1 & -3 & -1 & 3 & 0 & \\[0.25em] 2 & -6 & -1 & 7 & 3 & \text{II} - 2 \cdot \text{I} \\[0.25em] -3 & 9 & 5 & -7 & 6 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & -3 & -1 & 3 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 2 & 2 & 6 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & -3 & -1 & 3 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \end{array} \]

Ausgehend von der untersten Zeile der Matrix werden nun geeignete Vielfache der Zeilen zu den darüberliegenden Zeilen addiert, um oberhalb der führenden Einsen ebenfalls Nullen zu erzeugen und die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform zu überführen.

\[ \begin{array}{rrrr|r|l} 1 & -3 & -1 & 3 & 0 & \text{I} + \text{II} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\[0.25em] \hline 1 & -3 & 0 & 4 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \end{array} \]

Das resultierende, transformierte Gleichungssystem kann an der untersten Matrix direkt abgelesen werden.

\begin{alignedat}{5} x_1 &\ - &\ 3x_2 &\ &\ &\ + &\ 4x_4 &\ = &\ 3 \\[0.5em] &\ &\ &\ &\ x_3 &\ + &\ x_4 &\ = &\ 3 \end{alignedat}

Bei $x_1$ und $x_3$ handelt es sich um die führenden Variablen, da in ihren Spalten eine führende Eins vorhanden ist; bei $x_2$ und $x_4$ handelt es sich folglich um die freien Variablen.

Zunächst werden Parameter $s,t \in \R$ für die freien Variablen gewählt und es gelte $x_2 = s$ und $x_4 = t$. Anschließend können beide Gleichungen nach ihrer jeweils einzigen verbleibenden Variable umgestellt werden.

\begin{align*} x_1 &= 3 + 3x_2 - 4x_4 \\[0.5em] x_1 &= 3 + 3s - 4t \\[1.0em] x_3 &= 3 - x_4 \\[0.5em] x_3 &= 3 - t \end{align*}

Die Gesamtlösung des linearen Gleichungssystems kann in Parameterform wie folgt dargestellt werden:

\[ x = \left\lbrack\begin{array}{r} x_1 \\[0.25em] x_2 \\[0.25em] x_3 \\[0.25em] x_4 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{c} 3+3s-4t \\[0.25em] s \\[0.25em] 3-t \\[0.25em] t \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{r} 3 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 3 \\[0.25em] 0 \end{array}\right\rbrack + s \cdot \left\lbrack\begin{array}{r} 3 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 0 \end{array}\right\rbrack + t \cdot \left\lbrack\begin{array}{r} -4 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] -1 \\[0.25em] 1 \end{array}\right\rbrack. \]

Simultanes Lösen von linearen Gleichungssystemen

Schematische Darstellung

Der Gauß-Jordan-Algorithmus kann, wie bereits der Gauß-Algorithmus, zum simultanen Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet werden, wenn diese dieselbe Koeffizientenmatrix besitzen und sich lediglich in ihren Ergebnisvektoren unterscheiden – wenn also die folgende Situation vorliegt:

\begin{align*} Ax &= b_1 \\[0.5em] &\ \, \vdots \\[0.5em] Ax &= b_k \end{align*}

Die Schritte, die zum Überführen der erweiterten Koeffizientenmatrix in reduzierte Zeilenstufenform notwendig sind, hängen grundsätzlich nur von der Koeffizientenmatrix $A$ ab, und nicht von den konkreten Ergebnisvektoren $b_1,\ldots,b_k$ der einzelnen Gleichungssysteme. Für das Lösungsverfahren ergibt sich somit die folgende Überlegung: Anstatt die Koeffizientenmatrix nur um den Ergebnisvektor $b_1$ des ersten Gleichungssystems $Ax=b_1$ zu erweitern, wird dies für alle Gleichungssysteme getan:

\[ \bigl\lbrack A \mid b_1 \mid \cdots \mid b_k \bigr\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{cccc|c|c|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{11} & \cdots & b_{k1} \\[0.5em] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{12} & \cdots & b_{k2} \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.5em] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{1m} & \cdots & b_{km} \end{array}\right\rbrack \]
Darstellung der mehrfach erweiterten Koeffizientenmatrix

Hinweis: Die Schreibweise $b_{ij}$ für die Vektorelemente bezeichnet in der obigen Darstellung den $j$-ten Eintrag des Vektors $b_i$ und entspricht nicht der typischen Indexierung der Elemente einer Matrix.

Der Gauß-Jordan-Algorithmus überführt nun alle linearen Gleichungssysteme simultan in die reduzierte Zeilenstufenform. Das anschließende Bestimmen der Lösung kann (und muss) für jedes System separat durchgeführt werden.

\[ \bigl\lbrack A^\ast \mid b_1^\ast \mid \cdots \mid b_k^\ast \bigr\rbrack = \left\lbrack\begin{array}{cccc|c|c|c} 1_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \cdots & 0_\mathcal{K} & b_{11}^\ast & \cdots & b_{k1}^\ast \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 1_\mathcal{K} & \cdots & 0_\mathcal{K} & b_{12}^\ast & \cdots & b_{k2}^\ast \\[0.5em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.5em] 0_\mathcal{K} & 0_\mathcal{K} & \cdots & 1_\mathcal{K} & b_{1m}^\ast & \cdots & b_{km}^\ast \end{array}\right\rbrack \]
Darstellung der mehrfach erweiterten Koeffizientenmatrix in reduzierter Zeilenstufenform

Beispiel

In diesem Beispiel wird das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen demonstriert. Gegeben seien die folgenden beiden Gleichungssysteme mit je zwei Gleichungen und zwei Variablen:

\begin{alignedat}{3} x_1 &\ + &\ 2x_2 &\ = &\ 1 \\[0.5em] -x_1 &\ - &\ x_2 &\ = &\ 1 \end{alignedat}

sowie

\begin{alignedat}{3} y_1 &\ + &\ 2y_2 &\ = &\ 3 \\[0.5em] -y_1 &\ - &\ y_2 &\ = &\ 2. \end{alignedat}

Beide Gleichungssysteme besitzen dieselben Koeffizienten und unterscheiden sich lediglich in ihrer rechten Seite. Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt und anschließend mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in reduzierte Zeilenstufenform überführt.

\[ \begin{array}{rr|r|r|l} 1 & 2 & 1 & 3 & \\[0.25em] -1 & -1 & 1 & 2 & \text{II} + \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 1 & 3 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 5 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & -3 & -7 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & 5 & \end{array} \]

Am letzten Schritt können die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme nun direkt abgelesen werden:

\begin{align*} x_1 &= -3 \\[0.5em] x_2 &= 2 \\[1.0em] y_1 &= -7 \\[0.5em] y_2 &= 5 \end{align*}

Weitere Anwendungsfälle

Bestimmen der Basis des Zeilen- oder Spaltenraums einer Matrix

Hauptartikel: Basis eines Vektorraums

Zum Bestimmen einer Basis des Zeilenraums einer Matrix wird diese mit dem Gauß-Verfahren zunächst in Zeilenstufenform überführt. Alle Zeilenvektoren, die vom Nullvektor verschieden sind, bilden dann eine Basis des Zeilenraums.

Wird statt des Gauß-Algorithmus der Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet, so zeichnet sich die entstehende Basis unter allen Basen dadurch aus, dass sie unabhängig von der Reihenfolge der Vektoren und der gemachten elementaren Zeilenumformungen ist.

Das Bestimmen einer Basis des Spaltenraums kann analog auf das Bestimmen einer Basis des Zeilenraums der transponierten Matrix zurückgeführt werden.

Bestimmen des Rangs einer Matrix

Hauptartikel: Rang einer Matrix

Zum Bestimmen des Rangs einer Matrix wird diese mit dem Gauß-Algorithmus zunächst in Zeilenstufenform überführt. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Zeilenvektoren, die vom Nullvektor verschieden sind.

Die Verwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus ist zum Bestimmen des Rangs möglich, aber nicht sinnvoll, da die Anzahl der Nichtnullzeilen nicht davon abhängig ist, ob die Matrix in Zeilenstufen- oder in reduzierter Zeilenstufenform vorliegt.

Aussagen zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Mithilfe des Rangs der Koeffizientenmatrix $A$ und des Rangs der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A \mid b)$ kann eine Aussage darüber getroffen werden, ob das zugehörige lineare Gleichungssystem mit $n$ Variablen keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Das Gleichungssystem hat

  • keine Lösung, falls $\rang(A) \neq \rang(A \mid b)$ gilt;
  • eine Lösung, falls $\rang(A) = \rang(A \mid b) = n$ gilt;
  • unendlich viele Lösungen, falls $\rang(A) = \rang(A \mid b) \lt n$ gilt.

Bestimmen der Determinante

Hauptartikel: Determinante

Für das Berechnen der Determinante bringt der Gauß-Jordan-Algorithmus keine Vorteile gegenüber dem Gauß-Algorithmus. Er ist im Allgemeinen sogar mit einem höheren Rechenaufwand verbunden, da die benötigte Zeilenstufenform zusätzlich in die reduzierte Form gebracht wird – ohne jedweden Vorteil für die Berechnung der Determinante.

Bestimmen der inversen Matrix

Hauptartikel: Inverse Matrix

Die inverse Matrix kann mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Hierzu wird die zu invertierende Matrix mithilfe elementarer Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix überführt und dieselben Umformungen parallel auf einer Einheitsmatrix durchgeführt, die bei Existenz der Inversen dabei in diese übergeht.