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Gruppe (Algebra)

Bei einer Gruppe handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung besteht, für die das Assoziativgesetz gilt, die ein neutrales Element besitzt und für die inverse Elemente existieren.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Zyklische Gruppen
Symmetrische Gruppen
Permutationsgruppen
Beispiele

Definitionen

Gruppe

Bei einer Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge $G$ und einer auf dieser Menge definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star: G \times G \rightarrow G$ besteht. Es handelt sich bei $\bigl(G,\star\bigr)$ um ein Monoid mit inversen Elementen, sodass die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $G$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \star b \in G.$
Die Verknüpfung $\star$ ist assoziativ: $\forall a,b,c \in G: \bigl( a \star b \bigr) \star c = a \star \bigl( b \star c \bigr) = a \star b \star c.$
Es existiert ein neutrales Element $e \in G$: $\forall a \in G: e \star a = a = a \star e.$ Das neutrale Element $e$ ist eindeutig bestimmt und sowohl links- als auch rechtsneutral bezüglich der Verknüpfung $\star$.
Zu jedem Element $a \in G$ existiert ein inverses Element $a^{-1} \in G$, für das gilt: $a^{-1} \star a = e = a \star a^{-1}.$ Das inverse Element $a^{-1}$ von $a$ ist eindeutig bestimmt und sowohl links- als auch rechtsinvers.

Kommutative bzw. abelsche Gruppe

Eine Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G, \star \bigr)$ wird kommutative bzw. abelsche Gruppe genannt, falls über die üblichen Gruppeneigenschaften hinaus zusätzlich die folgende Eigenschaft gilt:

Die Verknüpfung $\star$ ist kommutativ: $\forall a,b \in G: a \star b = b \star a.$

Ordnung der Gruppe

Bei der Ordnung einer Gruppe handelt es sich um die Mächtigkeit $|G|$ der Trägermenge. Für eine endliche Gruppe handelt es sich bei der Ordnung also schlicht um die Anzahl der Gruppenelemente. Für eine unendliche Gruppe wird die Ordnung mit $\infty$ angegeben.

Ordnung eines Gruppenelements

Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelements

Die Ordnung eines Gruppenelements $a \in G$ kann formal wie folgt definiert werden:

\ord(a) = \min\Bigl(\Bigl\{ n \in \N \mid g^n = e \wedge n \gt 0 \Bigr\} \cup \Bigl\{ \infty \Bigr\}\Bigr).

Bei $e$ handelt es sich um das neutrale Element der Gruppe $\mathcal{G}$. Für endliche Gruppen handelt es sich bei der Ordnung des Elements $a$ also um die kleinste natürliche Potenz $n \gt 0$, für die $a^n=e$ gilt.

Das neutrale Element ist stets das einzige Element der Ordnung 1.
Als Konsequenz des Satzes von Lagrange ist die Ordnung eines Gruppenelements stets ein Teiler der Gruppenordnung: $\forall a \in G: \ord(a) \mid |G|.$

Untergruppe

Hauptartikel: Untergruppe

Seien $\mathcal{G} = \bigl(G,\star \bigr)$ eine Gruppe und $U \subseteq G$ eine Teilmenge der Trägermenge $G$. Es handelt sich bei $\mathcal{U} = \bigl( U,\star \bigr)$ um eine Untergruppe von $\mathcal{G}$, falls es sich bei $\mathcal{U}$ ebenfalls um eine Gruppe handelt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Trägermenge $U$ ist nichtleer: $U \neq \emptyset.$
Die Trägermenge $U$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen: $\forall a,b \in U: a \star b \in U.$
Die Trägermenge $U$ enthält die inversen Elemente: $\forall a \in U: a^{-1} \in U.$

Hinweis: Die Assoziativität der Verknüpfung $\star$ für die Elemente aus $U$ gilt implizit aufgrund der Assoziativität in $\mathcal{M}$ und muss nicht separat überprüft werden. Dies gilt bei abelschen Gruppen analog für die Kommutativität.

Die Gruppe $\mathcal{G}$ wird Obergruppe von $\mathcal{U}$ genannt.

Gruppenhomomorphismus

Hauptartikel: Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ zwischen den Trägermengen zweier Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl( G_1, \star \bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl( G_2, \diamond \bigr)$ wird Gruppenhomomorphismus genannt, falls die folgende Eigenschaft gilt:

Die Abbildung $\varphi$ ist strukturerhaltend: $\forall a,b \in G_1: \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b).$

Ist die Abbildung $\varphi$ darüber hinaus bijektiv, so handelt es sich bei $\varphi$ um einen Gruppenisomorphismus und die Gruppen $\mathcal{G}_1$ und $\mathcal{G}_2$ sind isomorph.

Notation

Multiplikativ geschriebene Gruppe
Oftmals wird anstelle der Verknüpfung $\star$ der gewöhnliche Malpunkt $\cdot$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um eine multiplikativ geschriebene Gruppe. Das neutrale Element wird dann als Einselement bezeichnet und durch $1$ dargestellt. Das zu $a$ inverse Element wird als $a^{-1}$ geschrieben. Wie bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann der Malpunkt oftmals weggelassen werden.

Additiv geschriebene Gruppe
Gelegentlich wird anstelle der Verknüpfung $\star$ das gewöhnliche Pluszeichen $+$ verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um eine additiv geschriebene Gruppe. Das neutrale Element wird dann als Nullelement bezeichnet und durch $0$ dargestellt. Das zu $a$ inverse Element wird als $-a$ geschrieben.

Eigenschaften

Kürzbarkeit

Ein Element $k \in G$ einer Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$ ist stets links- und rechtskürzbar, und somit kürzbar. Für alle $a,b \in G$ gilt

\begin{align*} k \star a = k \star b &\Rightarrow \underbrace{\bigl( k^{-1} \star k \bigr)}_{=\ e} \star a = \underbrace{\bigl( k^{-1} \star k \bigr)}_{=\ e} \star b \\[0.5em] &\Rightarrow e \star a = e \star b \\[0.5em] &\Rightarrow a = b \\[1em] a \star k = b \star k &\Rightarrow a \star \underbrace{\bigl( k \star k^{-1} \bigr)}_{=\ e} = b \star \underbrace{\bigl( k \star k^{-1} \bigr)}_{=\ e} \\[0.5em] &\Rightarrow a \star e = b \star e \\[0.5em] &\Rightarrow a = b. \end{align*}

Aus der Kürzbarkeit folgt direkt, dass jedes Element der Gruppe in jeder Zeile und jeder Spalte der Gruppentafel exakt einmal vorkommt.

Neutrales Element

Das neutrale Element einer Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$ ist eindeutig bestimmt. Angenommen, $e_1, e_2 \in G$ seien neutrale Elemente in $\mathcal{G}$. Dann sind $e_1$ und $e_2$ sowohl links- als auch rechtsneutral, woraus sich die Gleichheit $e_1=e_2$ wie folgt ergibt:

e_1 = e_1 \star e_2 = e_2.

Inverse Element

Das inverse Element $a^{-1} \in G$ eines Elements $a \in G$ ist in einer Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$ eindeutig bestimmt. Angenommen, $a',a'' \in G$ seien inverse Elemente von $a$. Dann sind $a'$ und $a''$ sowohl links- als auch rechtsinvers, woraus sich die Gleichheit $a'=a''$ wie folgt ergibt:

a' = a' \star \underbrace{\bigl(a \star a''\bigr)}_{=\ e} = \underbrace{\bigl(a' \star a\bigr)}_{=\ e} \star a'' = a''.

Es gilt $e^{-1} = e$ und ${\left(a^{-1}\right)}^{-1} = a$. Für Elemente $a,b \in G$ gilt stets ${\bigl(a \star b \bigr)}^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$, wie die folgende Rechnung zeigt:

\begin{align*} \bigl(a \star b\bigr) \star {\bigl(b^{-1} \star a^{-1} \bigr)} &= a \star \underbrace{\bigl(b \star b^{-1}\bigr)}_{=\ e} \star a^{-1} \\[0.5em] &= \underbrace{a \star a^{-1}}_{=\ e} \\[0.5em] &= e. \end{align*}

Lösbarkeit von Gleichungen

Seien $a,b \in G$ Elemente einer Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$. Die Gleichungen $a \star x = b$ und $x \star a = b$ sind eindeutig lösbar; es gilt:

\begin{array}{l} a \star x = b \\[0.5em] \quad\Rightarrow \underbrace{a^{-1} \star a}_{=\ e} \star x = a^{-1} \star b \\[0.5em] \quad\Rightarrow x = a^{-1} \star b \\[1em] x \star a = b \\[0.5em] \quad\Rightarrow x \star \underbrace{a \star a^{-1}}_{=\ e} = b \star a^{-1} \\[0.5em] \quad\Rightarrow x = b \star a^{-1} \\[1em] \end{array}

Absorption

Eine Gruppe $\mathcal{G}=\bigl(G,\star\bigr)$ mit mindestens zwei Elementen $a,b \in G$ kann kein (links-/rechts-)absorbierendes Element $o \in G$ besitzen, da die Gleichungen $o \star x = o$ bzw. $x \star o = o$ sonst mindestens die beiden Lösungen $a$ und $b$ hätten – im direkten Widerspruch zur zuvor bewiesenen Eindeutigkeit der Lösung von Gleichungen.

Zyklische Gruppen

Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Bei einer zyklischen Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ handelt es sich um eine Gruppe, bei der alle Elemente als Potenz desselben Gruppenelements $a \in G$ dargestellt werden können:

G = \langle a \rangle = \Bigl\{ e=a^0, a, a^2, a^3, \ldots \Bigr\}.

Bei $e$ handelt es sich um das neutrale Element. Das Element $a$ heißt erzeugendes Element, Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe. Es ist möglich, dass eine Gruppe mehrere erzeugende Elemente besitzt.

Zyklische Gruppen sind stets kommutativ und zyklische Gruppen derselben Ordnung sind stets isomorph.

Symmetrische Gruppen

Hauptartikel: Symmetrische Gruppe

Die symmetrische Gruppe $\mathcal{S}_n=\bigl(S_n,\circ\bigr)$ umfasst die Menge aller Permutationen einer $n$-elementigen Menge, die mithilfe der Komposition $\circ$ verknüpft werden. Bei der Identität ${id}_{S_n}$ handelt es sich um das neutrale Element. Die symmetrische Gruppe $\mathcal{S}_n$ hat die Ordnung $|S_n| = n!$ und ist somit endlich. Für $n \geq 3$ ist $\mathcal{S}_n$ nicht kommutativ.

Permutationsgruppen

Hauptartikel: Permutationsgruppe

Bei einer Permutationsgruppe handelt es sich um eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Gruppen:

Die Mengen der ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen bilden zusammen mit der Addition die kommutativen Gruppen $\bigl(\Z,+\bigr)$, $\bigl(\Q,+\bigr)$, $\bigl(\R,+\bigr)$ bzw. $\bigl(\C,+\bigr)$.
Die Mengen der rationalen, reellen und komplexen Zahlen (ohne Null) bilden zusammen mit der Multiplikation die kommutativen Gruppen $\bigl(\Q \setminus \{0\},\cdot\bigr)$, $\bigl(\R \setminus \{0\},\cdot\bigr)$ bzw. $\bigl(\C \setminus \{0\},\cdot\bigr)$
Die Menge der $n$-dimensionalen Vektoren über einem Körper $K$ bildet gemeinsam mit der Vektoraddition eine kommutative Gruppe $\bigl(K^n, +\bigr)$.
Die Menge der $m \times n$ Matrizen über einem Körper $K$ bildet gemeinsam mit der Matrizenaddition eine kommutative Gruppe $\bigl(K^{m \times n}, +\bigr)$.
Die Menge der Restklassen modulo $m$ bildet zusammen mit der Addition von Restklassen modulo $m$ die kommutative Gruppe $\bigl(\Z_m, +\bigr)$.
Die Menge der Restklassen modulo einer Primzahl $p$ bildet zusammen mit der Multiplikation von Restklassen modulo $p$ die kommutative Gruppe $\bigl(\Z_p \setminus \{{[0]}_p\}, \cdot\bigr)$.