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Inverses Element

Bei einem inversen Element handelt es sich um ein Element in einer algebraischen Struktur, dessen Verknüpfung mit dem zu invertierenden Element stets das neutrale Element der algebraischen Struktur ergibt. Elemente können ein- oder beidseitig invertierbar sein; ebenso ist es möglich, dass Elemente nicht invertierbar sind.

Inhalt

Definition
Eigenschaften
Selbstinverse Elemente
Inverse von zusammengesetzten Elementen
Beispiele

Definition

Sei $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ ein Magma, d. h. eine Menge $M$ mit einer darauf definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star$, und sei $e \in M$ das neutrale Element der Verknüpfung $\star$. Ein Element $i \in M$ heißt

linksinverses Element bzw. Linksinverses von $a \in M$ (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $i \star a = e.$ Das Element $a$ ist in diesem Fall linksinvertierbar.
rechtsinverses Element bzw. Rechtsinverses von $a \in M$ (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $a \star i = e.$ Das Element $a$ ist in diesem Fall rechtsinvertierbar.
(beidseitig) inverses Element bzw. (beidseitiges) Inverses von $a \in M$ (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls es sowohl links- als auch rechtsinvers zu $a$ ist, d. h. falls gilt: $i \star a = e = a \star i.$ Das Element $a$ ist in diesem Fall (beidseitig) invertierbar.

Hinweis: Ein Inverses des Elements $a$ wird bei additiver Schreibweise häufig als $(-a)$ geschrieben; und bei multiplikativer Schreibweise häufig als $a^{-1}$.

Eigenschaften

Gleichheit von links- und rechtsinversen Elementen

Ist die Verknüpfung $\star$ assoziativ, handelt es sich bei $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ also um ein Monoid, so stimmen die Links- und Rechtsinversen eines Elements stets überein. Seien $i_\ell \in M$ ein linksinverses Element und $i_r \in M$ ein rechtsinverses Element von $a \in M$. Dann gilt $i_\ell \star a = e$ und $a \star i_r = e$. Hieraus folgt insbesondere

i_\ell = i_\ell \star \underbrace{\bigl( a \star i_r \bigr)}_{=\ e} = \underbrace{\bigl( i_\ell \star a \bigr)}_{=\ e} \star i_r = i_r,

woraus sich unmittelbar die Gleichheit $i_\ell = i_r$ ergibt.

Hinweis: Ist die Verknüpfung $\star$ nicht assoziativ, so können (mehrere) verschiedene links- und rechtsinverse Elemente existieren.

Eindeutigkeit des inversen Elements

Ist die Verknüpfung $\star$ assoziativ, handelt es sich bei $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ also um ein Monoid, so ist das Inverse eines Elements stets eindeutig bestimmt. Seien $i_1, i_2 \in M$ zwei inverse Elemente des Elements $a \in M$. Dann gilt unter anderem $i_1 \star a = e$ sowie $a \star i_2 = e$. Hieraus folgt insbesondere

i_1 = i_1 \star \underbrace{\bigl( a \star i_2 \bigr)}_{=\ e} = \underbrace{\bigl( i_1 \star a \bigr)}_{=\ e} \star i_2 = i_2,

woraus sich unmittelbar die Gleichheit $i_1 = i_2$ und somit die Eindeutigkeit des inversen Elements ergibt.

Existenz mehrerer linksinverser Elemente

Besitzt ein Element $a \in M$ eines Monoids $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ kein rechtsinverses Element, so können mehrere verschiedene linksinverse Elemente existieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

Sei $M$ die Menge aller Funktionen $\Z \rightarrow \Z$, die die ganzen Zahlen auf sich selbst abbilden, und die Verknüpfung $\star$ sei die Komposition $\circ$ von Funktionen. Die Funktion $n \mapsto 2n$ besitzt unendlich viele linksinverse Funktionen, nämlich genau diejenigen Funktionen, die gerade Zahlen halbieren und ungerade Zahlen auf eine beliebige ganze Zahl abbilden.

Hinweis: Für nicht assoziative Verknüpfungen $\star$ gilt dies auch für den Fall, dass rechtsinverse Elemente existieren.

Existenz mehrerer rechtsinverser Elemente

Besitzt ein Element $a \in M$ eines Monoids $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ kein linksinverses Element, so können mehrere verschiedene rechtsinverse Elemente existieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

Sei $M$ die Menge aller Funktionen $\Z \rightarrow \Z$, die die ganzen Zahlen auf sich selbst abbilden, und die Verknüpfung $\star$ sei die Komposition $\circ$ von Funktionen. Die Funktion $\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$ besitzt mehrere rechtsinverse Funktionen, nämlich genau die Funktionen $n \mapsto 2n$ und $n \mapsto 2n+1$.

Hinweis: Für nicht assoziative Verknüpfungen $\star$ gilt dies auch für den Fall, dass linksinverse Elemente existieren.

Involution

Beim Invertieren handelt es sich um eine Involution, d. h. um eine selbstinverse Abbildung. Das Inverse des Inversen ist wieder das ursprüngliche Element. Es gilt:

{\left( a^{-1} \right)}^{-1} = a.

Selbstinverse Elemente

Ein Element $a \in M$ eines Monoids $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ mit neutralem Element $e$ heißt selbstinvers, falls gilt:

a \star a = e \quad\text{bzw.}\quad a = a^{-1}.

Das neutrale Element $e$ eines Monoids ist stets selbstinvers. Sind alle Elemente eines Monoids selbstinvers, so handelt es sich bei dem Monoid stets um eine kommutative Gruppe.

Inverse von zusammengesetzten Elementen

Seien $a,b \in M$ Elemente eines Monoids $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$; dann gilt:

Ist $a \star b$ rechtsinvertierbar, so ist auch $a$ rechtsinvertierbar.
Ist $a \star b$ linksinvertierbar, so ist auch $b$ linksinvertierbar.
Sind $a$ und $b$ (beidseitig) invertierbar, so ist auch $a \star b$ (beidseitig) invertierbar, und es gilt: ${\bigl( a \star b \bigr)}^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}.$

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich exemplarisch um einige inverse Elemente:

Bei der Zahl $-n$ handelt es sich um das additive Inverse der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahl $n$.
Bei der Zahl $\frac{1}{x}$ handelt es sich um das multiplikative Inverse der rationalen, reellen bzw. komplexen Zahl $x \neq 0$.
Bei der Restklasse ${[m-a]}_m$ handelt es sich um das bezüglich der Addition von Restklassen modulo $m$ inverse Element der Restklasse ${[a]}_m$.
Beim Polynom $-p(x)$ handelt es sich um das bezüglich der Polynomaddition inverse Element des Polynoms $p(x)$.
Beim Vektor $-v$ handelt es sich um das bezüglich der Vektoraddition inverse Element des Vektors $v$.
Bei der Matrix $-A$ handelt es sich um das bezüglich der Matrizenaddition inverse Element der Matrix $A$.
Bei der inversen Matrix $A^{-1}$ handelt es sich um das bezüglich der Matrizenmultiplikation (für quadratische $n \times n$ Matrizen) inverse Element der Matrix $A$.
Bei der Umkehrfunktion $f^{-1}$ handelt es sich um das bezüglich der Komposition von Funktionen inverse Element der Funktion $f$.