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Lineare Abbildung

Bei einer linearen Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) handelt es sich in der linearen Algebra um eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper, die verträglich mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist, d. h., es spielt keine Rolle, ob Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet, oder zunächst abgebildet und anschließend verknüpft werden. Es handelt sich bei einer linearen Abbildung folglich um einen Homomorphismus.

Inhalt

Definitionen
Darstellung
Eigenschaften
Beispiele
Arten von Vektorraumhomomorphismen

Definitionen

Lineare Abbildung

Gegeben seien zwei Vektorräume $\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)$ und $\mathcal{W} = \bigl(W,\boxplus,\boxdot\bigr)$ über einem Körper $\mathcal{K}$. Eine Abbildung $f: V \rightarrow W$ heißt lineare Abbildung, wenn für alle $x,y \in V$ und $\lambda \in K$ die folgenden Eigenschaften gelten:

Die Abbildung $f$ ist additiv: $f(x \oplus y) = f(x) \boxplus f(y).$
Die Abbildung $f$ ist homogen: $f(\lambda \odot x) = \lambda \boxdot f(x).$
Diese beiden Bedingungen können alternativ auch durch die folgende Bedingung zusammengefasst werden, die für $\lambda = 1_K$ genau der Additivitätsbedingung und für $y = 0_V$ genau der Homogenitätsbedingung entspricht: $f(\lambda \odot x \oplus y) = \lambda \boxdot f(x) \boxplus f(y).$

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente aus $V$ zunächst in $V$ verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob sie zunächst abgebildet und anschließend in $W$ verknüpft werden.

Bild und Kern

Beim Bild einer linearen Abbildung $f: V \rightarrow W$ handelt es sich um die Bildmenge von $V$ unter $f$, also um die Menge derjenigen Vektoren aus $W$, auf die die Vektoren aus $V$ abgebildet werden:

\operatorname{Bild}(f) = \operatorname{im}(f) = f(V) = \Bigl\{ f(v) \mid v \in V \Bigr\}.

Beim Kern einer linearen Abbildung $f: V \rightarrow W$ handelt es sich um diejenigen Vektoren aus $V$, die auf den Nullvektor $0_W$ des Vektorraums $\mathcal{W}$ abgebildet werden:

\operatorname{Kern}(f) = \operatorname{ker}(f) = f^{-1}(0_W) = \Bigl\{ v \in V \mid f(v) = 0_W \Bigr\}.

Es gilt $\operatorname{Bild}(f) \subseteq W$ und $\operatorname{Kern}(f) \subseteq V$. Der Kern der linearen Abbildung $f$ ist ein Untervektorraum des Vektorraums $\mathcal{V}$. Das Bild der linearen Abbildung $f$ ist ein Untervektorraum des Vektorraums $\mathcal{W}$.

Dimensionsformel

Das Bild und der Kern einer linearen Abbildung $f: V \rightarrow W$ stehen über die Dimensionsformel (auch Dimensionssatz oder Rangsatz genannt) in Beziehung zueinander. Diese besagt, dass die Dimension des Vektorraums $\mathcal{V}$ der Summe der Dimensionen des Bilds und des Kerns von $f$ entspricht, d. h., es gilt:

\dim\bigl(\mathcal{V}\bigr) = \dim\bigl(\Kern(f)\bigr) + \dim\bigl(\Bild(f)\bigr).

Darstellung

Darstellung durch die Bilder einer Basis

Gegeben seien zwei endlichdimensionale Vektorräume $\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)$ und $\mathcal{W} = \bigl(W,\boxplus,\boxdot\bigr)$ über demselben Körper $\mathcal{K} = \bigl(K,+,\cdot\bigr)$. Eine lineare Abbildung zwischen diesen Vektorräumen wird durch die Bilder der Vektoren einer Basis von $\mathcal{V}$ eindeutig bestimmt. Sei $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}} = \bigl\{b_1,\ldots,b_n\bigr\} \subseteq V$ eine Basis des Vektorraums $\mathcal{V}$ und seien $w_1,\ldots,w_n \in W$ Vektoren des Vektorraums $\mathcal{W}$, dann existiert genau eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ mit

\begin{align*} f(b_1) &= w_1 \\[0.5em] &\ \ \vdots \\[0.5em] f(b_n) &= w_n. \end{align*}

Ein Vektor $v \in V$ lässt sich stets eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren $b_1,\ldots,b_n$ darstellen; es gilt:

\begin{align*} v &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \odot b_j} \\[0.5em] &= \bigl( \lambda_1 \odot b_1 \bigr) \oplus \ldots \oplus \bigl( \lambda_n \odot b_n \bigr). \end{align*}

Bei den Skalaren $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ handelt es sich um die Koordinaten des Vektors $v$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}} = \bigl\{b_1,\ldots,b_n\bigr\}$.

Das Bild $f(v)$ kann nun mithilfe der Linearkombination des Vektors $v$ eindeutig bestimmt werden; es gilt:

\begin{align*} f(v) &= f \left( \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \odot b_j} \right) \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{f\bigl(\lambda_j \odot b_j\bigr)} \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \boxdot f(b_j)} \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \boxdot w_j}. \end{align*}

Darstellung durch eine Abbildungsmatrix

Gegeben seien zwei endlichdimensionale Vektorräume $\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)$ und $\mathcal{W} = \bigl(W,\boxplus,\boxdot\bigr)$ über demselben Körper $\mathcal{K} = \bigl(K,+,\cdot\bigr)$ mit $\dim(\mathcal{V}) = n$ und $\dim(\mathcal{W}) = m$, eine Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}} = \bigl\{b_1,\ldots,b_n\bigr\} \subseteq V$ des Vektorraums $\mathcal{V}$, eine Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}} = \bigl\{b_1',\ldots,b_m'\bigr\} \subseteq W$ des Vektorraums $\mathcal{W}$, eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ sowie die Bilder $w_1,\ldots,w_n \in W$ der Basisvektoren $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ mit

\begin{align*} f(b_1) &= w_1 \\[0.5em] &\ \ \vdots \\[0.5em] f(b_n) &= w_n. \end{align*}

Die Vektoren $v \in V$ und $w \in W$ lassen sich stets eindeutig als Linearkombinationen der Basisvektoren $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ bzw. $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ darstellen:

\begin{align*} v &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \odot b_j} \\[0.5em] w &= \sum\limits_{i=1}^{m}{\mu_i \boxdot b_i'}. \end{align*}

Bei den Skalaren $\lambda_j$ handelt es sich um die Koordinaten des Vektors $v$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$; bei den Skalaren $\mu_i$ handelt es sich analog um die Koordinaten des Vektors $w$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$.

Insbesondere können die Bilder $w_j=f(b_j)$ der Basisvektoren $b_j \in \mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ als Linearkombinationen der Basisvektoren $b_1',\ldots,b_m' \in \mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ dargestellt werden; es gilt:

w_j = f(b_j) = \sum\limits_{i=1}^{m}{a_{ij} \boxdot b_i'}.

Bei den Skalaren $a_{ij}$ handelt es sich um die Koordinaten des Vektors $w_j$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$. Mithilfe dieser Werte $a_{ij}$ kann nun das Bild $f(v)$ eines Vektors $v \in V$ als Linearkombination der Basisvektoren $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ dargestellt werden:

\begin{align*} f(v) &= f\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \odot b_j} \right) \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{f\bigl(\lambda_j \odot b_j\bigr)} \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \boxdot f(b_j)} \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\lambda_j \boxdot \left( \sum\limits_{i=1}^{m}{a_{ij} \boxdot b_i'} \right)} \\[0.5em] &= \sum\limits_{j=1}^{n}{\sum\limits_{i=1}^{m}{(\lambda_j \cdot a_{ij}) \boxdot b_i'}} \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij} \cdot \lambda_j) \boxdot b_i'}} \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{m}{\left( \smash[b]{\underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot \lambda_j}}_{=\ \mu_i} } \right) \boxdot b_i'} \\[1.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{m}{\mu_i \boxdot b_i'}. \end{align*}

Für die Koordinaten $\mu_1,\ldots,\mu_m$ des Vektors $w=f(v)$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ gilt also:

\mu_i = \sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot \lambda_j}.

Die Koordinaten $\mu_1,\ldots,\mu_m$ können mithilfe einer Matrizenmultiplikation elegant berechnet werden; es gilt:

\begin{align*} \begin{pmatrix} \mu_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] \mu_m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_{11} \cdot \lambda_1 + \ldots + a_{1n} \cdot \lambda_n \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_{m1} \cdot \lambda_1 + \ldots + a_{mn} \cdot \lambda_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &= \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}}_{=\ A} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] \lambda_n \end{pmatrix}. \end{align*}

Die Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ wird Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix genannt und ist für gegebene Basen $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ und $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ eindeutig bestimmt. Bei der $j$-ten Spalte der Matrix $A$ handelt es sich um die Koordinaten des Bilds $f(b_j)$ bezüglich der Basis $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$.

Mithilfe der Koordinaten $\mu_1,\ldots,\mu_m$ kann anschließend das Bild $f(v)$ des Vektors $v \in V$ als Linearkombination der Basisvektoren $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ berechnet werden.

Hinweis: Handelt es sich bei den Vektorräumen $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$ um die Koordinatenräume $\mathcal{K}^n$ bzw. $\mathcal{K}^m$ und bei den Basen $\mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ bzw. $\mathfrak{B}_{\mathcal{W}}$ um die Standardbasen dieser Räume – also um die kanonischen Einheitsvektoren – so entsprechen die Koordinaten der Vektoren $v \in V$ und $w \in W$ bezüglich ihrer jeweiligen Basis stets den Elementen der Vektoren selbst. Hieraus folgt insbesondere, dass es sich bei den Spalten der Abbildungsmatrix dann um die Bilder der Einheitsvektoren $e_1,\ldots,e_n \in \mathfrak{B}_{\mathcal{V}}$ handelt, d. h.

A = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] f(e_1) & \ldots & f(e_n) \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix},

und dass sich das Bild $w=f(v)$ des Vektors $v \in V$ unmittelbar aus der Multiplikation mit der Abbildungsmatrix ergibt:

w = f(v) = A \cdot v.

Eigenschaften

Für lineare Abbildungen $f: V \rightarrow W$ zwischen zwei Vektorräumen $\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)$ und $\mathcal{W} = \bigl(W,\boxplus,\boxdot\bigr)$ über einem Körper $\mathcal{K}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Der Nullvektor $0_V$ wird stets auf den Nullvektor $0_W$ abgebildet; es gilt: $\begin{align*} f(0_V) &= f(0 \odot 0_V) \\[0.5em] &= 0 \boxdot f(0_V) \\[0.5em] &= 0_W. \end{align*}$
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $f$ nur den Nullvektor $0_V$ enthält.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn die Bilder $f(b_1), \ldots, f(b_n) \in W$ der Basisvektoren $b_1,\ldots,b_n \in V$ linear unabhängig sind.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der zu $f$ gehörenden Abbildungsmatrix linear unabhängig sind.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann surjektiv, wenn die Bilder $f(b_1),\ldots,f(b_n) \in W$ der Basisvektoren $b_1,\ldots,b_n \in V$ ein Erzeugendensystem des Vektorraums $\mathcal{W}$ bilden.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann surjektiv, wenn der Rang der zu $f$ gehörenden Abbildungsmatrix gleich der Dimension des Vektorraums $\mathcal{W}$ ist.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann bijektiv, wenn die Bilder $f(b_1),\ldots,f(b_n) \in W$ der Basisvektoren $b_1,\ldots,b_n \in V$ eine Basis des Vektorraums $\mathcal{W}$ bilden.
Die lineare Abbildung $f$ ist genau bijektiv, wenn die zu $f$ gehörende Abbildungsmatrix regulär ist.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \R^2 \rightarrow \R^3$ sowie zwei Vektoren $b_1 = \bigl(1,2\bigr)$ und $b_2 = \bigl( 2,-1\bigr)$, die eine Basis des Vektorraums $\R^2$ bilden. Die Bilder der beiden Basisvektoren seien $f(b_1) = \bigl(1,0,3\bigr)$ und $f(b_2) = \bigl(0,2,-1\bigr)$. Hierdurch wird die lineare Abbildung $f$ eindeutig beschrieben.

Es soll das Bild des Vektors $v=\bigl(4,3\bigr)$ bestimmt werden. Hierzu muss dieser zunächst als Linearkombination der Basisvektoren $b_1$ und $b_2$ dargestellt werden, d. h., es muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden:

\lambda_1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix}}_{b_1} + \lambda_2 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\[0.25em] -1 \end{pmatrix}}_{b_2} = \underbrace{\begin{pmatrix} 4 \\[0.25em] 3 \end{pmatrix}}_{v}.

Dies kann beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren getan werden und liefert $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 1$. Hiermit kann nun das Bild $f(v)$ berechnet werden; es gilt:

\begin{align*} f(v) &= f(2 \cdot b_1 + b_2) \\[0.5em] &= f(2 \cdot b_1) + f(b_2) \\[0.5em] &= 2 \cdot f(b_1) + f(b_2) \\[0.5em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] -1 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 2 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] 5 \end{pmatrix}. \end{align*}

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Beispiel 2

Gegeben seien eine lineare Abbildung $f: \R^2 \rightarrow \R^3$ sowie zwei Vektoren $b_1 = \bigl(1,2\bigr)$ und $b_2 = \bigl( 0,-1\bigr)$, die eine Basis des Vektorraums $\R^2$ bilden. Die Bilder der beiden Basisvektoren seien $f(b_1) = \bigl(1,0,2\bigr)$ und $f(b_2) = \bigl(0,2,3\bigr)$. Hierdurch wird die lineare Abbildung $f$ eindeutig beschrieben.

Es soll die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung $f$ bestimmt werden. Hierfür müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $e_1 = \bigl(1,0\bigr)$ und $e_2 = \bigl(0,1\bigr)$ des $\R^2$ bestimmt werden. Um diese als Linearkombinationen der Basisvektoren $b_1$ und $b_2$ darzustellen, müssen die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme gelöst werden:

\begin{align*} \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] -1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} \\[0.75em] \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 2 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] -1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Dies kann beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren getan werden und liefert $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2 = 2$ sowie $\mu_1 = 0$ und $\mu_2 = -1$, womit sich für die Bilder $f(e_1)$ und $f(e_2)$ ergibt:

\begin{align*} f(e_1) &= f(b_1) + 2 \cdot f(b_2) \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 4 \\[0.25em] 8 \end{pmatrix} \\[1.5em] f(e_2) &= -f(b_2) \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] -2 \\[0.25em] -3 \end{pmatrix}. \end{align*}

Bei den Spalten der gesuchten Abbildungsmatrix handelt es sich um die Bilder der Einheitsvektoren, sodass sich direkt die folgende Matrix ergibt:

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & \mid \\[0.25em] f(e_1) & f(e_2) \\[0.25em] \mid & \mid \end{bmatrix} \\[0.75em] &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\[0.25em] 4 & -2 \\[0.25em] 8 & -3 \end{bmatrix}. \end{align*}

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Arten von Vektorraumhomomorphismen

(Vektorraum-)Monomorphismus

Eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ zwischen zwei Vektorräumen wird (Vektorraum-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung $f$ injektiv ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Spaltenvektoren der zu $f$ gehörenden Abbildungsmatrix linear unabhängig sind.

(Vektorraum-)Epimorphismus

Eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ zwischen zwei Vektorräumen wird (Vektorraum-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung $f$ surjektiv ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Rang der zu $f$ gehörenden Abbildungsmatrix gleich der Dimension des Vektorraums $W$ ist.

(Vektorraum-)Isomorphismus

Eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$ zwischen zwei Vektorräumen wird (Vektorraum-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung $f$ bijektiv ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die zu $f$ gehörende Abbildungsmatrix regulär ist.

(Vektorraum-)Endomorphismus

Eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow V$ eines Vektorraums in sich selbst wird (Vektorraum-)Endomorphismus genannt. Die zu $f$ gehörende Abbildungsmatrix ist in diesem Fall eine quadratische Matrix.

(Vektorraum-)Automorphismus

Eine lineare Abbildung $f: V \rightarrow V$ eines Vektorraums in sich selbst wird (Vektorraum-)Automorphismus genannt, wenn die lineare Abbildung $f$ bijektiv ist. Die zu $f$ gehörende Abbildungsmatrix ist eine reguläre Matrix.