Addition von Matrizen

Die Matrizenaddition (auch Matrixaddition) ist eine Verknüpfung zweier Matrizen derselben Größe. Das Ergebnis der Matrizenaddition ist eine neue Matrix, die durch komponentenweise Addition der entsprechenden Elemente der beiden Ausgangsmatrizen entsteht.

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Addition von zwei \(m \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\) handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^{m \times n} \times \mathcal{R}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}^{m \times n}\), bei der die \(m \times n\) Ergebnismatrix berechnet wird, indem die beiden Matrizen \(A\) und \(B\) elementweise addiert werden.

• Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{2 \times 2}$ gilt exemplarisch:
  \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\[0.25em] b_{21} & b_{22}\end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\[0.25em] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}
• Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{3 \times 3}$ gilt entsprechend:
  \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[0.25em] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\[0.25em] b_{21} & b_{22} & b_{23} \\[0.25em] b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\[0.25em] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\[0.25em] a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{bmatrix}. \end{align*}
• Für Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt allgemein:
  \begin{align*} A + B &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] b_{m1} & \ldots & b_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1}+b_{m1} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}
  Oder kompakt:
  \begin{align*} A + B &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Wichtig: Es können nur Matrizen derselben Größe addiert werden.

Beispiele

Das erste Beispiel zeigt exemplarisch die Addition von zwei $2 \times 2$ Matrizen:

Die Matrizenaddition ist nicht auf zwei Matrizen beschränkt, wie das folgende Beispiel einer Addition von drei $3 \times 2$ Matrizen zeigt:

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von Matrizen $A,B,C \in \mathcal{R}^{m \times n} $ ist assoziativ; es gilt:

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Kommutativität

Die Addition von Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ ist kommutativ; es gilt:

Neutrales Element

Die Nullmatrix $0$ ist das neutrale Element der Addition von Matrizen; es gilt:

Inverses Element

Das inverse Element einer Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrix $-A$, bei deren Elementen \(-a_{ij}\) es sich um die additiven Inversen der Elemente \(a_{ij}\) der Matrix \(A\) handelt; es gilt:

Matrizenaddition und transponierte Matrizen

Für die transponierte Matrix der Summe von Matrizen $A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt: