Einstellige Verknüpfung

Einstellige Verknüpfung

Gegeben seien Mengen $A$ und $B$ sowie eine Abbildung $\star: A \rightarrow B$. Die Abbildung $\star$ wird einstellige Verknüpfung genannt und darüber hinaus

• als innere einstellige Verknüpfung bezeichnet, falls $A = B$ gilt;
• als äußere einstellige Verknüpfung bezeichnet, falls $A \neq B$ gilt.

Innere einstellige Verknüpfung

Eine innere einstellige Verknüpfung auf einer Menge $A$ ist eine Abbildung $\star: A \rightarrow A$, die jedem Element der Menge $A$ ein Element derselben Menge $A$ zuordnet. Die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen.

Die Bezeichnung innere einstellige Verknüpfung rührt daher, dass die Verknüpfung $\star$ vollständig innerhalb der Menge $A$ stattfindet.

Innere einstellige Verknüpfungen treten in algebraischen Strukturen häufig als Bestandteil der Struktur selbst auf, beispielsweise die Inversenbildung in Gruppen oder die Komplementbildung in Booleschen Algebren.

Äußere einstellige Verknüpfung

Eine äußere einstellige Verknüpfung ist eine Abbildung $\star: A \rightarrow B$ mit $A \neq B$, die jedem Element der Menge $A$ ein Element der Menge $B$ zuordnet. Die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ nicht notwendigerweise abgeschlossen.

Ganze Zahlen

Für die Verknüpfungen von ganzen Zahlen gilt:

• Bei der Negation von ganzen Zahlen handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.

Rationale Zahlen

Für die Verknüpfungen von rationalen Zahlen gilt:

• Bei der Negation von rationalen Zahlen handelt es sich, wie bereits bei den ganzen Zahlen, um eine innere einstellige Verknüpfung.
• Bei der Kehrwertbildung von rationalen Zahlen ungleich Null handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.

Reelle Zahlen

Für die Verknüpfungen von reellen Zahlen gilt:

• Die Negation von reellen Zahlen ist, wie schon bei den ganzen und den rationalen Zahlen, eine innere einstellige Verknüpfung.

Komplexe Zahlen

Für die Verknüpfungen von komplexen Zahlen gilt:

• Bei der Negation von komplexen Zahlen handelt es sich wie zuvor ebenfalls um eine innere einstellige Verknüpfung.
• Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.

Restklassen

Für die Verknüpfungen von Restklassen gilt:

• Das Negieren von Restklassen ist eine innere einstellige Verknüpfung.
• Beim Bestimmen des multiplikativen Inversen von Restklassen im Restklassenkörper $\Z_p$ handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.

Vektoren

Für die Verknüpfungen von Vektoren gilt:

• Bei der Negation von Vektoren handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.
• Beim Transponieren von Vektoren handelt es sich um eine äußere einstellige Verknüpfung, da Zeilen- und Spaltenvektoren verschiedenen Mengen angehören.

Matrizen

Für die Verknüpfungen von Matrizen gilt:

• Bei der Negation von Matrizen handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.
• Beim Transponieren von Matrizen handelt es sich um eine einstellige Verknüpfung. Im Falle von quadratischen Matrizen handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung, im Falle von nicht quadratischen Matrizen handelt es sich um eine äußere einstellige Verknüpfung, da eine $m \times n$ Matrix zu einer $n \times m$ Matrix wird.
• Bei der Bestimmung der inversen Matrix einer regulären Matrix handelt es sich um eine innere einstellige Verknüpfung.

Mengen

Für die Verknüpfungen von Mengen gilt:

• Für eine beliebige Menge $M$ und eine Teilmenge $A \subseteq M$ handelt es sich beim Komplement um eine innere einstellige Verknüpfung auf der Potenzmenge $\mathcal{P}(M)$.

Funktionen

Für die Verknüpfungen von Funktionen gilt:

• Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion handelt es sich um eine einstellige Verknüpfung; für Funktionen $A \to A$ um eine innere, für Funktionen $A \to B$ um eine äußere einstellige Verknüpfung.