Beim Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) handelt es sich um eine Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (ein sogenanntes Skalar) zuordnet. Zum Berechnen des Skalarprodukts werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die Produkte aufsummiert.
Beim Skalarprodukt von zwei Vektoren \(a,b \in \mathcal{R}^n\) handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung \(\mathcal{R}^n \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}\), die wie folgt definiert ist:
\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\varphi). \]
Hierbei bezeichnen $|a|$ und $|b|$ die Längen der Vektoren $a$ und $b$; der zwischen den Vektoren $a$ und $b$ eingeschlossene Winkel ist mit $\varphi$ bezeichnet.
Koordinatenform des Skalarprodukts
Eine weitere Möglichkeit, das Skalarprodukt zweier Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ darzustellen, ist die Koordinatenform des Skalarprodukts. Hierbei wird das Ergebnis berechnet, indem die beiden Vektoren \(a\) und \(b\) elementweise multipliziert und die Produkte addiert werden:
\begin{align*} a \cdot b &= \sum\limits_{k=1}^{n}{a_kb_k} \\[0.5em] &= a_1 \cdot b_1 + \ldots + a_n \cdot b_n. \end{align*}
Wichtig: Das Skalarprodukt kann nur für Vektoren derselben Dimension berechnet werden.
Beispiele
Das erste Beispiel zeigt das Skalarprodukt zweier Vektoren des $\R^2$:
Nutze den individuell konfigurierbaren Aufgabengenerator, um unbegrenzt Aufgaben zum Thema Skalarprodukt zu erzeugen und zu üben.
Eigenschaften
Kommutativität
Das Skalarprodukt von Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ ist kommutativ, falls die Elemente aus einem kommutativen Ring \(\mathcal{R}\) stammen; es gilt:
\[ a \cdot b = b \cdot a. \]
Die Kommutativität des Skalarprodukts kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:
Ersetzen der Vektoren \(a\) und \(b\) durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
Ausrechnen von \(a \cdot b\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(3)
Die Gleichheit \(a_kb_k = b_ka_k\) (für \(1 \leq k \leq n\)) gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation im kommutativen Ring \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
Ersetzen durch das Skalarprodukt \(b \cdot a\) gemäß Definition der Koordinatenform des Skalarprodukt
(5)
Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren \(a\) und \(b\)
\begin{align*} a \cdot \bigl( b \pm c \bigr) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\[0.5em] \bigl( a \pm b \bigr) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c. \end{align*}
Die Linksdistributivität des Skalarprodukts über der Vektoraddition bzw. -subtraktion kann wie folgt gezeigt werden:
Für das Skalarprodukt von Vektoren gelten die folgenden weiteren Eigenschaften:
Für Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ und $\lambda \in \mathcal{R}$ gilt:
\[ \lambda \cdot a \cdot b = \bigl( \lambda \cdot a \bigr) \cdot b = a \cdot \bigl( \lambda \cdot b \bigr). \]
Geometrische Eigenschaften
Aus der (geometrischen) Definition des Skalarprodukts ergeben sich die folgenden Eigenschaften:
Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ parallel und gleich orientiert (d.h. $\varphi = 0$), so gilt $a \cdot b = \bigl|a\bigr| \bigl|b\bigr|$.
Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ parallel und entgegengesetzt orientiert (d.h. $\varphi = \pi$), so gilt $a \cdot b = -\bigl|a\bigr| \bigl|b\bigr|$.
Das Skalarprodukt eines Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge $a \cdot a = {\bigl| a \bigr|}^2$.
Sind die Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ orthogonal (d.h. $\varphi = \pm\frac{\pi}{2}$), so gilt $a \cdot b = 0$.
Ist $\varphi$ ein spitzer Winkel, so gilt $a \cdot b \gt 0$.
Ist $\varphi$ ein stumpfer Winkel, so gilt $a \cdot b \lt 0$.
Herleitung der Koordinatenform
Herleitung mithilfe des Kosinussatzes
Gegeben seien die beiden Vektoren $a = (a_1, \ldots, a_n)$ und $b = (b_1, \ldots, b_n)$. Mit $\varphi$ sei der zwischen $a$ und $b$ eingeschlossene Winkel bezeichnet. Ausgehend vom selben Startpunkt spannen die Vektoren \(a\) und \(b\) ein Dreieck auf, dessen dritte Seite dem Vektor \(b-a\) entspricht. Nach dem Kosinussatz gilt dann:
\[ {\bigl| b - a \bigr|}^2 = {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - 2 \cdot \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi). \]
Umstellen nach $\bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi)$ ergibt:
\[ \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi) = \frac{1}{2} \left( {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - {\bigl| b - a \bigr|}^2 \right). \]
Ersetzen des Terms $ \bigl| a \bigr| \cdot \bigl| b \bigr| \cdot \cos(\varphi)$ durch $a \cdot b$ – dies entspricht der Definition des Skalarprodukts – liefert:
\[ a \cdot b = \frac{1}{2} \left( {\bigl| a \bigr|}^2 + {\bigl| b \bigr|}^2 - {\bigl| b - a \bigr|}^2 \right). \]
Einsetzen der Formel für die Länge eines Vektors für $\bigl| a \bigr|$, $\bigl| b \bigr|$ bzw. $\bigl| b-a \bigr|$ und anschließendes Vereinfachen liefert die gesuchte Koordinatenform des Skalarprodukts:
Gegeben seien die beiden Vektoren $a = \bigl( a_1, \ldots, a_n \bigr)$ und $b = \bigl( b_1, \ldots, b_n \bigr)$, die unter Zuhilfenahme der kanonischen Einheitsvektoren $e_1 = (1, 0, \ldots, 0)$ bis $e_n = (0, 0, \ldots, 1)$ wie folgt dargestellt werden können:
