Nachlesen

Matrizenraum

Beim Matrizenraum handelt es sich um den Vektorraum der Matrizen fester Größe über einem Körper. Bei den Verknüpfungen des Matrizenraums handelt es sich um die Matrizenaddition sowie die skalare Multiplikation von Matrizen. Bei der Standardbasis handelt es sich um die Standardmatrizen. Die Dimension des Matrizenraums entspricht dem Produkt der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix.

Inhalt

Definition
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie ein Körper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Beim Matrizenraum $\bigl( \mathcal{K}^{m \times n}, +, \cdot \bigr)$ handelt es sich um einen Vektorraum, der aus der Menge

\mathcal{K}^{m \times n} = \left\{ {\bigl[ a_{ij} \bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}\ \Big\vert\ a_{ij} \in \mathcal{K} \right\}

aller $m \times n$ Matrizen über dem Körper $\mathcal{K}$ besteht. Bei den Verknüpfungen des Matrizenraums handelt es sich um die gewöhnliche Matrizenaddition

\begin{array}{c} +: \mathcal{K}^{m \times n} \times \mathcal{K}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{K}^{m \times n} \\[0.5em] A + B = {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{array}

und die skalaren Multiplikation von Matrizen

\begin{array}{c} \cdot: \mathcal{K} \times \mathcal{K}^{m \times n} \rightarrow \mathcal{K}^{m \times n} \\[0.5em] \lambda \cdot A = {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}. \end{array}

Der Matrizenraum wird auch Raum der $m \times n$ Matrizen über dem Körper $\mathcal{K}$ genannt.

Eigenschaften

Vektorraum-Eigenschaften

Für die Matrizenaddition $+$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die Matrizenaddition nachgelesen werden):

Die Verknüpfung $+$ ist assoziativ; für Matrizen $A,B,C \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $\bigl( A + B \bigr) + C = A + \bigl( B + C \bigr).$
Die Nullmatrix $0_{mn}$ ist das neutrale Element der Matrizenaddition; für alle $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $0_{mn} + A = A = A + 0_{mn}.$
Die Matrix $-A$ ist das additive inverse Element der Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$; es gilt: $\bigl( -A \bigr) + A = 0_{mn} = A + \bigl( -A \bigr).$
Die Verknüpfung $+$ ist kommutativ; für $A,B \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $\[ A+B = B+A. \]$

Für die skalare Multiplikation von Matrizen $\cdot$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die skalare Multiplikation von Matrizen nachgelesen werden):

Die Verknüpfung $\cdot$ ist assoziativ; für $\lambda,\mu \in \mathcal{K}$ und $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $\bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot A = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot A \bigr).$
Das Skalar $1_\mathcal{K}$ – das Einselement des Körpers $\mathcal{K}$ – ist das (links-)neutrale Element der skalaren Multiplikation von Matrizen; für $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $1_\mathcal{K} \cdot A = A.$
Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (links-)distributiv über der Matrizenaddition; für $\lambda \in \mathcal{K}$ und $A, B \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $\lambda \cdot \bigl( A + B \bigr) = \bigl( \lambda \cdot A \bigr) + \bigl( \lambda \cdot B \bigr).$
Die skalare Multiplikation von Matrizen ist (rechts-)distributiv über der Addition von Skalaren; für $\lambda, \mu \in \mathcal{K}$ und $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gilt: $\bigl( \lambda + \mu \bigr) \cdot A = \bigl( \lambda \cdot A \bigr) + \bigl( \mu \cdot A \bigr).$

Dimension und Basis

Bei der Standardbasis des Matrizenraums handelt es sich um die Menge der Standardmatrizen $E_{ij}$ (für $1 \leq i \leq m$ und $1 \leq j \leq n$), die an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag $1_\mathcal{K}$ und an allen anderen Stellen den Eintrag $0_\mathcal{K}$ besitzen. Jede Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ kann wie folgt als Linearkombination der Standardmatrizen dargestellt werden:

A = \sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot E_{ij}}}.

Für die Dimension des Matrizenraums ergibt sich somit implizit

\dim\left(\mathcal{K}^{m \times n}\right) = m \cdot n,

also das Produkt der Zeilen- und der Spaltenanzahl der Matrizen des Matrizenraums.

Isomorphie

Der Matrizenraum ist isomorph zum Vektorraum $L(\mathcal{V}, \mathcal{W})$ der linearen Abbildungen zwischen (endlichdimensionalen) Vektorräumen $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$ über demselben Körper $\mathcal{K}$; es gilt:

L(\mathcal{V}, \mathcal{W}) \cong \mathcal{K}^{m \times n}.

Hierbei gilt $m = \dim(\mathcal{W})$ und $n=\dim(\mathcal{V})$. Sei $f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}$ eine lineare Abbildung, $\bigl\{ v_1,\ldots,v_n \bigr\}$ eine Basis von $\mathcal{V}$ und $\bigl\{ w_1,\ldots,w_m \bigr\}$ eine Basis von $\mathcal{W}$. Dann gilt für das Bild $f(v_j)$ des Basisvektors $v_j$ von $\mathcal{V}$ (mit $1 \leq j \leq n$):

f(v_j) = \sum\limits_{i=1}^{m}{a_{ij} \cdot w_i}.

Da jedes Element $v \in \mathcal{V}$ als Linearkombination der Basisvektoren $v_1,\ldots,v_n$ dargestellt werden kann, kann folglich die lineare Abbildung $f$ eindeutig durch die Multiplikation mit einer Matrix $\bigl[ a_{ij} \bigr] \in \mathcal{K}^{m \times n}$, der Abbildungsmatrix, beschrieben werden. Details hierzu können im Artikel über lineare Abbildungen nachgelesen werden. Umgekehrt entspricht jede Matrix genau einer linearen Abbildung aus $L(\mathcal{V}, \mathcal{W})$.