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Polynom

Bei einem Polynom (oder auch einer Polynomfunktion) handelt es sich um die Summe von gewichteten, natürlichen Potenzen einer Variable \(x\).

Inhalt

Definitionen
Beispiele
Arithmetische Operationen
Potenzreihen
Polynome in der abstrakten Algebra
Polynome in der linearen Algebra

Definitionen

Polynom

Bei einem Polynom (oder auch einer Polynomfunktion) \(p\) handelt es sich um einen Ausdruck der folgenden Form:

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n.

Hierbei ist \(x\) eine Unbekannte (eine Variable) und \(n \in \N_0\) eine natürliche Zahl mit \(n \geq 0\). Bei den Koeffizienten \(a_0,\ldots,a_n\) handelt es sich um Elemente eines Rings \(\mathcal{R}\) – hierzu zählen die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, aber beispielsweise auch Restklassenringe. Mit Ausnahme der Forderung \(a_n \neq 0_\mathcal{R}\), falls \(n \gt 0\) gilt, können die Koeffizienten beliebig gewählt werden. Der Koeffizient \(a_n\) wird Leitkoeffizient genannt. Der Term \(a_0 = a_0x^0\) wird Absolutglied genannt.

Unter Verwendung des Summenzeichens lässt sich ein Polynom auch wie folgt darstellen:

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k}.

Vereinfacht gesagt: Bei einem Polynom handelt es sich um die Summe von (mehreren) gewichteten, natürlichen Potenzen.

Normiertes Polynom

Bei einem normierten Polynom handelt es sich um ein Polynom, für dessen Leitkoeffizient \(a_n = 1_\mathcal{R}\) gilt.

Grad eines Polynoms

Der natürliche Exponent \(n\) der höchsten im Polynom

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k}

vorkommenden Potenz \(a_nx^n\) wird als Grad des Polynoms bezeichnet und als \(\grad(p)\) oder \(\deg(p)\) geschrieben.

Nullstelle

Hauptartikel: Nullstellen von Polynomen

Bei einer Nullstelle (oder Wurzel) eines Polynoms \(p\) handelt es sich um einen Wert \(x_0\), für den die folgende Eigenschaft gilt:

p(x_0) = 0_\mathcal{R}.

Ein Polynom vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen. Das konstante Polynom \(p(x)=0_\mathcal{R}\) (das Nullpolynom) besitzt unendlich viele Nullstellen, das konstante Polynom \(p(x)=a_0 \neq 0_\mathcal{R}\) besitzt keine Nullstellen.

Linearfaktorzerlegung

Hauptartikel: Faktorisierung von Polynomen

Ein Polynom \(p\) lässt sich stets als ein Produkt der folgenden Form darstellen, die Linearfaktorzerlegung genannt wird:

\begin{align*} p(x) &= c \cdot {(x-x_1)}^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot {(x-x_r)}^{\alpha_r} \\[0.5em] &\qquad {}\cdot {Q_1(x)}^{\beta_1} \cdot \ldots \cdot {Q_s(x)}^{\beta_s}. \end{align*}

Beim führenden Faktor \(c\) handelt es sich um den Leitkoeffizienten, bei den Werten \(x_1,\ldots,x_r\) handelt es sich um die Nullstellen des Polynoms, die Terme \((x-x_k)\) werden Linearfaktoren genannt, bei den Termen \(Q_k(x)\) handelt es sich um irreduzible Polynome, die nicht weiter in Linearfaktoren zerlegt werden können und bei den natürlichen Zahlen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\) sowie \(\beta_1,\ldots,\beta_s\) handelt es sich um die Vielfachheiten, die angeben, wie oft die jeweiligen Terme in der Linearfaktorzerlegung auftauchen.

Beispiele

Beispiel 1

Beim folgenden Polynom \(a(x)\) handelt es sich um ein quadratisches Polynom mit Grad 2 und Koeffizienten aus den ganzen Zahlen \(\Z\).

\[ a(x) = x^2 - x - 6. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt \(a_2=1\): Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom \(a(x)\) besitzt die beiden ganzzahligen Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 3\) und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

a(x) = \underbrace{(x+2)}_{=\ x-(-2)} \cdot (x-3).

Beispiel 2

Beim folgenden Polynom \(b(x)\) handelt es sich um ein kubisches Polynom mit Grad 3 und Koeffizienten aus den rationalen Zahlen \(\Q\).

b(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}.

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt \(b_3=1\): Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom \(b(x)\) besitzt eine rationale Nullstelle \(x_1 = \frac{1}{2}\) und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

b(x) = \left( x-\frac{1}{2} \right) \cdot (x^2+1).

Das Polynom \(x^2+1\) ist im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel.

Beispiel 3

Beim folgenden Polynom \(c(x)\) handelt es sich um ein Polynom mit Grad 4 und Koeffizienten aus den komplexen Zahlen \(\C\).

\[ c(x) = 2x^4 - 2. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt \(c_4=2\): Es handelt sich folglich nicht um ein normiertes Polynom. Das Polynom \(c(x)\) besitzt vier komplexe Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2=-1\), \(x_3 = i\) und \(x_4 = -i\) und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

c(x) = 2 \cdot (x-1) \cdot \underbrace{(x+1)}_{=\ x-(-1)} \cdot (x-i) \cdot \underbrace{(x+i)}_{=\ x-(-i)}.

Beispiel 4

Beim folgenden Polynom \(d(x)\) handelt es sich um ein konstantes Polynom mit Grad 0 und Koeffizienten aus den ganzen Zahlen \(\Z\).

\[ d(x) = 42. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt \(d_0=42\): Es handelt sich folglich nicht um ein normiertes Polynom. Das Polynom \(d(x)\) besitzt keine Nullstellen.

Beispiel 5

Beim folgenden Polynom \(e(x)\) handelt es sich um ein quadratisches Polynom mit Grad 2 und Koeffizienten aus dem Restklassenring \(\Z_2\).

e(x) = x^2 + {[1]}_2.

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt \(e_2={[1]}_2\): Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom \(e(x)\) besitzt eine doppelte Nullstelle \(x_1 = {[1]}_2\) und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

e(x) = {\underbrace{\left(x + {[1]}_2 \right)}_{=\ x - {[1]}_2}}^2.

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\):

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen der Summe \(a(x)+b(x)\) werden die Polynome koeffizientenweise addiert. Koeffizienten von Termen \(x^k\), die in \(a(x)\) oder \(b(x)\) nicht auftauchen, werden implizit als Null angenommen. Es gilt:

a(x)+b(x) = \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k+b_k)x^k}

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\):

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen der Differenz \(a(x)-b(x)\) werden die Polynome koeffizientenweise subtrahiert. Koeffizienten von Termen \(x^k\), die in \(a(x)\) oder \(b(x)\) nicht auftauchen, werden implizit als Null angenommen. Es gilt:

a(x)-b(x) = \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k-b_k)x^k}

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\):

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen des Produkts \(a(x) \cdot b(x)\) werden die Polynome mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes ausmultipliziert. Es gilt:

a(x) \cdot b(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{m}{a_k b_\ell x^{k+\ell}}}

Division

Hauptartikel: Division von Polynomen

Für zwei Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\) handelt es sich bei der Division \(a(x):b(x)\) um eine Zerlegung mit Rest, d. h., es existieren eindeutig bestimmte Polynome \(q(x)\) und \(r(x)\) mit \(\grad(r(x)) \lt \grad(b(x))\) oder \(r(x)=0_\mathcal{R}\), so dass gilt:

a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x).

Potenzreihen

Hauptartikel: Potenzreihe

Die einem Polynom zugrundeliegende Idee kann zu einer unendliche Reihe erweitert werden. Eine Reihe der Form

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{a_kx^k}

wird als Potenzreihe bezeichnet. Potenzreihen spielen in der Analysis eine wichtige Rolle und können beispielsweise zur Beschreibung und Untersuchung von Eigenschaften von Funktionen verwendet werden.

Vereinfacht gesagt: Bei einer Potenzreihe handelt es sich um ein unendliches Polynom.

Polynome in der abstrakten Algebra

Hauptartikel: Polynomring

In der abstrakten Algebra wird ein Polynom als (unendliche) Folge von Koeffizienten eines Rings \(\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)\) definiert, wobei alle bis auf endlich viele Koeffizienten Null sind:

\bigl( a_0, a_1, \ldots, a_n, 0_R, 0_R, \ldots \bigr) \in R \times R \times \ldots.

Gemeinsam mit einer auf diesen Folgen definierten Addition und Multiplikation, die im Wesentlichen der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von Polynomen entsprechen, bilden diese Folgen selbst einen Ring – den Polynomring \(\mathcal{R}[X]\).

Polynome in der linearen Algebra

Hauptartikel: Polynomraum

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper \(\mathcal{K}\) bildet gemeinsam mit der gewöhnlichen Addition von Polynomen sowie der skalaren Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper \(\mathcal{K}\) einen Vektorraum – den Polynomraum. Bei der Teilmenge aller Polynome mit einem bestimmten Maximalgrad handelt es sich um einen Untervektorraum des Polynomraums.