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Nullmatrix

Bei der Nullmatrix handelt es sich um eine Matrix, deren Elemente alle Null sind. Es handelt sich um das neutrale Element der Matrizenaddition.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der Nullmatrix handelt es sich um die Matrix \(0_{mn} \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit

\begin{align*} 0_{mn} &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \ldots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \ldots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \\[1em] &= {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}, \end{align*}

deren Elemente ausnahmslos dem neutralen Element \(0_\mathcal{R}\) der Addition in \(\mathcal{R}\) entsprechen.

Hinweis: Falls die Dimension keine Rolle spielt oder keine Verwechslungsgefahr besteht, wird für die Nullmatrix anstelle von $0_{mn}$ oft nur $0$ geschrieben.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich exemplarisch um einige reelle Nullmatrizen:

\begin{align*} 0_{1,1} &= \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0_{2,2} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0_{2,3} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{align*}

Eigenschaften

Neutrales Element

Die Nullmatrix \(0_{mn}\) ist das neutrale Element der Addition von \(m \times n\) Matrizen; es gilt:

\[ 0_{mn} + A = A = A + 0_{mn}. \]

Die Nullmatrix \(0\) ist linksneutral bezüglich der Matrizenaddition, denn es gilt:

\begin{align*} 0+A &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ 0_\mathcal{R} + a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die Nullmatrix ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Matrizenaddition.

\begin{align*} A+0 &\overset{(1)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} + {\Bigl[ 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} {\Bigl[ a_{ij} + 0_\mathcal{R} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} A. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen von \(0\) und \(A\) durch die konkreten Matrizen
(2)
  • Ausrechnen von \(0+A\) bzw. \(A+0\) gemäß Definition der Addition von Matrizen
(3)
  • Ausrechnen von \(0_\mathcal{R}+a_{ij}\) bzw. \(a_{ij}+0_\mathcal{R}\) ergibt \(a_{ij}\) (für \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)), da \(0_\mathcal{R}\) das neutrale Element der Addition im Ring \(\mathcal{R}\) ist, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen der konkreten Matrix durch \(A\)

Absorbierendes Element

Die Nullmatrix ist ein absorbierendes Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. Für alle Matrizen $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gilt:
\begin{align*} 0_{mm} \cdot A &= 0_{mm} \\[0.5em] A \cdot 0_{nn} &= 0_{nn}. \end{align*}

Für quadratische Matrizen $B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ gilt insbesondere:

\[ 0_{nn} \cdot B = 0_{nn} = B \cdot 0_{nn}. \]

Kenngrößen

  • Die Determinante einer quadratischen Nullmatrix ist Null:
    \[ \det(0_{nn}) = 0. \]
  • Die Nullmatrix ist die einzige Matrix mit Rang Null; es gilt:
    \[ \rg(0_{mn}) = 0. \]
  • Das charakteristische Polynom einer quadratischen Nullmatrix $0_{nn}$ hat die Form
    \[ \chi(0_{nn}) = \lambda^n. \]
    Der einzige Eigenwert ist $\lambda=0$ und besitzt die Vielfachheit $n$.

Weitere Eigenschaften

Es gelten die folgenden weiteren Eigenschaften:

  • Die Nullmatrix $0_{mn}$ kann als das dyadische Produkt der Nullvektoren $0_m$ und $0_n$ dargestellt werden:
    \[ 0_{mn} = 0_m \otimes 0_n. \]
  • Die transponierte Matrix, die adjungierte Matrix und die komplementäre Matrix einer Nullmatrix ist wieder eine Nullmatrix, bei der lediglich die Dimensionen vertauscht sind:
    \[ 0_{mn}^T = 0_{mn}^H = 0_{nm} \quad\text{ und }\quad \operatorname{adj}(0_{nn}) = 0_{nn}. \]
  • Gegeben seien zwei Vektorräume \(\mathcal{V}\) und \(\mathcal{W}\). Bei der Nullmatrix handelt es sich um die Abbildungsmatrix der Nullabbildung, also um diejenige lineare Abbildung, die alle Elemente aus $\mathcal{V}$ auf den Nullvektor \(0_\mathcal{W}\) von $\mathcal{W}$ abbildet.