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Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, bei der alle Hauptdiagonalelemente identisch sind.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei einer Skalarmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit

S = \begin{bmatrix} \lambda & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \lambda & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & \lambda \end{bmatrix},

bei der alle Hauptdiagonalelemente $s_{ii}$ demselben Skalar $\lambda \in \mathcal{R}$ entsprechen und alle Einträge $s_{ij}$ mit $i \neq j$, also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich $0_\mathcal{R}$ sind.

Eine Skalarmatrix kann mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt werden.

S = \diag\bigl(\lambda, \lambda, \ldots, \lambda\bigr)

Jede Skalarmatrix ist stets auch eine symmetrische Matrix, eine Diagonalmatrix sowie eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der folgenden Matrix $S_1 \in \Z^{2 \times 2}$ handelt es sich um eine Skalarmatrix.

\begin{align*} S_1 &= \diag\bigl(2,2\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\[0.25em] 0 & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix $S_2 \in \Z^{4 \times 4}$ handelt es sich um eine Skalarmatrix.

\begin{align*} S_2 &= \diag\bigl(5,5,5,5\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 5 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 5 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \end{align*}

Spezielle Skalarmatrizen

Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix $E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine spezielle Skalarmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle $1_\mathcal{R}$ sind.

\begin{align*} E_n &= \diag\bigl(1_\mathcal{R}, \ldots, 1_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Nullmatrix

Bei der Nullmatrix $0_{nn} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine spezielle Skalarmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle $0_\mathcal{R}$ sind.

\begin{align*} 0_{nn} &= \diag\bigl(0_\mathcal{R}, \ldots, 0_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Bei der Menge der $n \times n$ Skalarmatrizen handelt es sich um einen kommutativen Unterring des Matrizenrings der quadratischen $n \times n$ Matrizen.

Addition, Subtraktion & Multiplikation von Skalarmatrizen

Die Matrizenaddition, Matrizensubtraktion und Matrizenmultiplikation von Skalarmatrizen erfolgt, indem die jeweiligen Hauptdiagonalelemente addiert, subtrahiert bzw. multipliziert werden.

\begin{align*} \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \pm \diag\bigl(\lambda', \ldots, \lambda'\bigr) &= \diag\bigl(\lambda \pm \lambda', \ldots, \lambda \pm \lambda'\bigr) \\[0.5em] \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \cdot \diag\bigl(\lambda', \ldots, \lambda'\bigr) &= \diag\bigl(\lambda \cdot \lambda', \ldots, \lambda \cdot \lambda'\bigr) \end{align*}

Die Ergebnismatrix ist stets wieder eine Skalarmatrix.

Multiplikation mit einer Skalarmatrix

Die Multiplikation mit einer Skalarmatrix $S = \diag(\lambda,\ldots,\lambda)$ entspricht der skalaren Multiplikation einer Matrix mit dem Wert $\lambda$.

\begin{align*} S \cdot A &= \diag\bigl(\lambda,\ldots,\lambda\bigr) \cdot A \\[0.5em] &= \lambda \cdot A \end{align*}

Zusammenhang mit der Einheitsmatrix

Eine Skalarmatrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ kann stets als ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix $E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}$ dargestellt werden.

\begin{align*} S &= \diag\bigl(\lambda,\ldots,\lambda\bigr) \\[0.5em] &= \lambda \cdot E_n \end{align*}

Inverse Matrix

Eine Skalarmatrix $S$ ist genau dann invertierbar, wenn das multiplikative inverse Element $\lambda^{-1} \in \mathcal{R}$ existiert. Für die inverse Matrix $S^{-1}$ gilt dann:

\begin{align*} S^{-1} &= {\diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr)}^{-1} \\[0.5em] &= \diag\bigl(\lambda^{-1}, \ldots, \lambda^{-1}\bigr). \end{align*}

Die inverse Matrix ist stets wieder eine Skalarmatrix.

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix $S^T$ einer Skalarmatrix $S$ entspricht der Skalarmatrix selbst.

\begin{align*} S^T &= {\diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr)}^T \\[0.5em] &= \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \\[0.5em] &= S \end{align*}

Determinante

Die Determinante einer Skalarmatrix $S$ kann direkt als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden.

\begin{align*} \det(S) &= \det \bigl( \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \bigr) \\[0.5em] &= \lambda \cdot \ldots \cdot \lambda \\[0.5em] &= \lambda^n \end{align*}

Eigenwerte und Eigenvektoren

Bei den Eigenwerten einer $n \times n$ Skalarmatrix $S = \diag(\lambda,\ldots,\lambda)$ handelt es sich um den Wert $\lambda$ selbst. Der Eigenwert $\lambda$ besitzt hierbei die (algebraische) Vielfachheit $n$.

Jeder Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ ist ein Eigenvektor bezüglich des Eigenwerts $\lambda$.