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Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, bei der alle Hauptdiagonalelemente identisch sind.

Inhalt

Definition
Beispiele
Spezielle Skalarmatrizen
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei einer Skalarmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(S \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

S = \begin{bmatrix} \lambda & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \lambda & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & \lambda \end{bmatrix},

bei der alle Hauptdiagonalelemente \(s_{ii}\) demselben Skalar \(\lambda \in \mathcal{R}\) entsprechen und alle Einträge \(s_{ij}\) mit \(i \neq j\), also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich \(0_\mathcal{R}\) sind.

Eine Skalarmatrix kann mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt werden.

S = \diag\bigl(\lambda, \lambda, \ldots, \lambda\bigr)

Jede Skalarmatrix ist stets auch eine symmetrische Matrix, eine Diagonalmatrix sowie eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der folgenden Matrix \(S_1 \in \Z^{2 \times 2}\) handelt es sich um eine Skalarmatrix.

\begin{align*} S_1 &= \diag\bigl(2,2\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\[0.25em] 0 & 2 \end{bmatrix} \end{align*}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix \(S_2 \in \Z^{4 \times 4}\) handelt es sich um eine Skalarmatrix.

\begin{align*} S_2 &= \diag\bigl(5,5,5,5\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 5 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 5 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \end{align*}

Spezielle Skalarmatrizen

Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix \(E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}\) handelt es sich um eine spezielle Skalarmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle \(1_\mathcal{R}\) sind.

\begin{align*} E_n &= \diag\bigl(1_\mathcal{R}, \ldots, 1_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Nullmatrix

Bei der Nullmatrix \(0_{nn} \in \mathcal{R}^{n \times n}\) handelt es sich um eine spezielle Skalarmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle \(0_\mathcal{R}\) sind.

\begin{align*} 0_{nn} &= \diag\bigl(0_\mathcal{R}, \ldots, 0_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Bei der Menge der \(n \times n\) Skalarmatrizen handelt es sich um einen kommutativen Unterring des Matrizenrings der quadratischen \(n \times n\) Matrizen.

Addition, Subtraktion & Multiplikation von Skalarmatrizen

Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Skalarmatrizen erfolgt, indem die jeweiligen Hauptdiagonalelemente addiert, subtrahiert bzw. multipliziert werden.

\begin{align*} \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \pm \diag\bigl(\lambda', \ldots, \lambda'\bigr) &= \diag\bigl(\lambda \pm \lambda', \ldots, \lambda \pm \lambda'\bigr) \\[0.5em] \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \cdot \diag\bigl(\lambda', \ldots, \lambda'\bigr) &= \diag\bigl(\lambda \cdot \lambda', \ldots, \lambda \cdot \lambda'\bigr) \end{align*}

Die Ergebnismatrix ist stets wieder eine Skalarmatrix.

Multiplikation mit einer Skalarmatrix

Die Multiplikation mit einer Skalarmatrix \(S = \diag(\lambda,\ldots,\lambda)\) entspricht der skalaren Multiplikation einer Matrix mit dem Wert \(\lambda\).

\begin{align*} S \cdot A &= \diag\bigl(\lambda,\ldots,\lambda\bigr) \cdot A \\[0.5em] &= \lambda \cdot A \end{align*}

Zusammenhang mit der Einheitsmatrix

Eine Skalarmatrix \(S \in \mathcal{R}^{n \times n}\) kann stets als ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix \(E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}\) dargestellt werden.

\begin{align*} S &= \diag\bigl(\lambda,\ldots,\lambda\bigr) \\[0.5em] &= \lambda \cdot E_n \end{align*}

Inverse Matrix

Eine Skalarmatrix \(S\) ist genau dann invertierbar, wenn das multiplikative inverse Element \(\lambda^{-1} \in \mathcal{R}\) existiert. Für die inverse Matrix \(S^{-1}\) gilt dann:

\begin{align*} S^{-1} &= {\diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr)}^{-1} \\[0.5em] &= \diag\bigl(\lambda^{-1}, \ldots, \lambda^{-1}\bigr). \end{align*}

Die inverse Matrix ist stets wieder eine Skalarmatrix.

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix \(S^T\) einer Skalarmatrix \(S\) entspricht der Skalarmatrix selbst.

\begin{align*} S^T &= {\diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr)}^T \\[0.5em] &= \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \\[0.5em] &= S \end{align*}

Determinante

Die Determinante einer Skalarmatrix \(S\) kann direkt als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden.

\begin{align*} \det(S) &= \det \bigl( \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \bigr) \\[0.5em] &= \lambda \cdot \ldots \cdot \lambda \\[0.5em] &= \lambda^n \end{align*}

Eigenwerte und Eigenvektoren

Bei den Eigenwerten einer \(n \times n\) Skalarmatrix \(S = \diag(\lambda,\ldots,\lambda)\) handelt es sich um den Wert \(\lambda\) selbst. Der Eigenwert \(\lambda\) besitzt hierbei die (algebraische) Vielfachheit \(n\).

Jeder Vektor \(v \in \mathcal{R}^n\) ist ein Eigenvektor bezüglich des Eigenwerts \(\lambda\).