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Nullraum einer Matrix

Beim Nullraum (auch Kern) einer Matrix handelt es sich um die Menge aller Vektoren, die durch die Multiplikation mit der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden. Allgemein handelt es sich beim Kern einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen um die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Inhalt

Definitionen

Nullraum einer Matrix

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\), ein Körper \(\mathcal{K}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix \(A \in \mathcal{K}^{m \times n}\).

Beim Nullraum \(N(A)\) der Matrix \(A\) handelt es sich um die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \(Ax=0\), also um die Menge aller Vektoren, die durch Multiplikation mit der Matrix \(A\) auf den Nullvektor \(0\) abgebildet werden:

\[ N(A) = \Bigl\{ x \in \mathcal{K}^n \mid Ax=0 \Bigr\}. \]

Kern einer linearen Abbildung

Gegeben seien zwei Vektorräume \(\mathcal{V}\) und \(\mathcal{W}\) sowie eine lineare Abbildung \(f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}\). Beim Kern der linearen Abbildung \(f\) handelt es sich um die Teilmenge aller Vektoren aus \(\mathcal{V}\), die durch die Abbildung \(f\) auf das Nullelement \(0_\mathcal{W}\) des Vektorraums \(\mathcal{W}\) abgebildet werden:

\[ \Kern(f) = \Bigl\{ v \in \mathcal{V} \mid f(v) = 0_\mathcal{W} \Bigr\}. \]

Der Kern der linearen Abbildung \(f\) wird auch als \(\ker(f)\) geschrieben. Der Kern ist ein Untervektorraum des Vektorraums \(\mathcal{V}\).

Eigenschaften

Für den Nullraum $N(A)$ der Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Der Nullraum $N(A)$ ist ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$.
  • Der Nullraum $N(A^T)$ der transponierten Matrix \(A^T\) ist ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{K}^m$.
  • Zusammen mit dem Zeilenraum $Z(A)$ der Matrix $A$ gilt die folgende Dimensionsformel:
    \[ \dim\bigl(Z(A)\bigr) + \dim\bigl(N(A)\bigr) = n. \]
    Die Summe der Dimensionen des Zeilen- und des Nullraums der Matrix $A$ entspricht der Anzahl der Spalten von $A$.
  • Zusammen mit dem Spaltenraum $S(A)$ der Matrix $A$ gilt für den Nullraum \(N(A^T)\) der transponierten Matrix \(A^T\) die folgende Dimensionsformel:
    \[ \dim\bigl(S(A)\bigr) + \dim\bigl(N(A^T)\bigr) = m. \]
    Die Summe der Dimensionen des Spaltenraums der Matrix $A$ und des Nullraums der transponierten Matrix $A^T$ entspricht der Anzahl der Zeilen von $A$.
  • Die durch die Matrix \(A\) beschriebene lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Nullraum \(N(A)\) nur den Nullvektor enthält.

Basis des Nullraums

Zum Bestimmen einer Basis des Nullraums einer Matrix \(A\) wird zunächst das homogene lineare Gleichungssystem \(Ax=0\) gelöst – beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren – und das Ergebnis anschließend in Parameterform überführt, an der die Basisvektoren des Nullraums direkt abgelesen werden können.

Beispiel

Gegeben sei die folgende Matrix, für deren Nullraum eine Basis bestimmt werden soll:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & 5 \\[0.25em] 2 & 4 & -5 & 7 \\[0.25em] 0 & 0 & -3 & 9 \end{bmatrix}. \]

Zum Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems \(Ax=0\) wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix \(\bigl[ A|0 \bigr]\) aufgestellt:

\[ \Bigl[ A|0 \Bigr] = \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -3 & 5 & 0 \\[0.25em] 2 & 4 & -5 & 7 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & -3 & 9 & 0 \end{array}\right] \]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[ \begin{array}{rrrr|r|l} 1 & 2 & -3 & 5 & 0 & \\[0.25em] 2 & 4 & -5 & 7 & 0 & \text{II} - 2 \cdot \text{I} \\[0.25em] 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & -3 & 5 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & \text{III} + 3 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & -3 & 5 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \end{array} \]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freien Variablen werden die Parameter \(s\) und \(t\) verwendet:

\begin{align*} x_4 &= t \\[1.0em] x_3 &= 0+3x_4 \\[0.5em] &= 0+3t \\[0.5em] &= 3t \\[1.0em] x_2 &= s \\[1.0em] x_1 &= 0-2x_2+3x_3-5x_4 \\[0.5em] &= 0-2s+3 \cdot 3t-5t \\[0.5em] &= -2s+4t. \end{align*}

Die gefundene Lösung kann nun in Parameterform dargestellt werden:

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\[0.25em] x_2 \\[0.25em] x_3 \\[0.25em] x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2s+4t \\[0.25em] s \\[0.25em] 3t \\[0.25em] t \end{bmatrix} = s \cdot \begin{bmatrix} -2 \\[0.25em] 1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 0 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 4 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 3 \\[0.25em] 1 \end{bmatrix}. \]

An der Parameterform können die Basisvektoren des Nullraums direkt abgelesen werden: Es gilt \(b_1 = \bigl( -2,1,0,0 \bigr)\) und \(b_2 = \bigl( 4,0,3,1 \bigr)\).