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Polynomraum

Beim Polynomraum handelt es sich um den Vektorraum der Polynome über einem Körper. Bei den Verknüpfungen des Polynomraums handelt es sich um die Polynomaddition und die skalare Multiplikation von Polynomen.

Inhalt

Definition
Eigenschaften

Definition

Gegeben sei ein Körper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Koeffizienten stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Beim Polynomraum $\bigl( \mathcal{K}[x], +, \cdot \bigr)$ handelt es sich um einen Vektorraum, der aus der Menge

\mathcal{K}[x] = \left\{ \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k}\ \Big\vert\ n \in \N, a_k \in \mathcal{K} \right\}

aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Körper $\mathcal{K}$ besteht. Bei den Verknüpfungen des Polynomraums handelt es sich um die gewöhnliche Polynomaddition

\begin{array}{c} +: \mathcal{K}[x] \times \mathcal{K}[x] \rightarrow \mathcal{K}[x] \\[0.5em] a(x) + b(x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\bigl(a_k+b_k\bigr)\,x^k} \end{array}

und die skalaren Multiplikation von Polynomen

\begin{array}{c} \cdot: \mathcal{K} \times \mathcal{K}[x] \rightarrow \mathcal{K}[x] \\[0.5em] \lambda \cdot a(x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\lambda \cdot a_k\,x^k}. \end{array}

Bei der Teilmenge der Polynome mit Maximalgrad $n$ (für eine natürliche Zahl $n$) handelt es sich um einen Unterraum des Polynomraums.

Eigenschaften

Vektorraum-Eigenschaften

Für die Polynomaddition $+$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die Polynomaddition nachgelesen werden):

Die Verknüpfung $+$ ist assoziativ; für Polynome $a(x),b(x),c(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\bigl( a(x) + b(x) \bigr) + c(x) = a(x) + \bigl( b(x) + c(x) \bigr).$
Das Nullpolynom $0$ ist das neutrale Element der Polynomaddition; für $a(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\[ 0 + a(x) = a(x) = a(x) + 0. \]$
Das Polynom $-a(x)$ ist das additive inverse Element des Polynoms $a(x) \in \mathcal{K}[x]$; es gilt: $\bigl( -a(x) \bigr) + a(x) = 0 = a(x) + \bigl( -a(x) \bigr).$
Die Verknüpfung $+$ ist kommutativ; für $a(x),b(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\[ a(x)+b(x) = b(x)+a(x). \]$

Für die skalare Multiplikation von Polynomen $\cdot$ gelten die folgenden Eigenschaften. (Hinweis: Die jeweiligen Beweise können im Artikel über die skalare Multiplikation von Polynomen nachgelesen werden):

Die Verknüpfung $\cdot$ ist assoziativ; für $\lambda,\mu \in \mathcal{K}$ und $a(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot a(x) = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr).$
Das Skalar $1_\mathcal{K}$ – das Einselement des Körpers $\mathcal{K}$ – ist das (links-)neutrale Element der skalaren Multiplikation von Polynomen; für $a(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $1_\mathcal{K} \cdot a(x) = a(x).$
Die skalare Multiplikation von Polynomen ist (links-)distributiv über der Polynomaddition; für $\lambda \in \mathcal{K}$ und $a(x), b(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\lambda \cdot \bigl( a(x) + b(x) \bigr) = \bigl( \lambda \cdot a(x) \bigr) + \bigl( \lambda \cdot b(x) \bigr).$
Die skalare Multiplikation von Polynomen ist (rechts-)distributiv über der Addition von Skalaren; für $\lambda, \mu \in \mathcal{K}$ und $a(x) \in \mathcal{K}[x]$ gilt: $\bigl( \lambda + \mu \bigr) \cdot a(x) = \bigl( \lambda \cdot a(x) \bigr) + \bigl( \mu \cdot a(x) \bigr).$

Dimension und Basis

Bei der Standardbasis des Polynomraums handelt es sich um die unendliche Menge

\[ \mathfrak{B} = \Bigl\{ 1,\, x,\, x^2,\, x^3,\, x^4,\, \ldots \Bigr\}. \]

Jedes Polynom $a(x) \in \mathcal{K}[x]$ kann auf triviale Art als Linearkombination dieser Basispolynome dargestellt werden; es gilt:

a(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k}.

Da es sich bei der Basis $\mathfrak{B}$ um eine unendliche Menge handelt, gilt für die Dimension des Polynomraums dementsprechend

\dim\left(\mathcal{K}[x]\right) = \infty.

Wird anstelle der Menge aller Polynome lediglich die Teilmenge der Polynome mit dem Maximalgrad $n \in \N$ betrachtet, so handelt es sich bei der Menge

\mathfrak{B}_n = \Bigl\{ 1,\, x,\, x^2,\, \ldots,\, x^n \Bigr\}

um die Standardbasis des entsprechenden Unterraums, der somit folglich die Dimension $n+1$ besitzt.

Isomorphie

Der Unterraum der Polynome über einem Körper $\mathcal{K}$ mit Maximalgrad $n \in \N$ ist isomorph zum Koordinatenraum $\mathcal{K}^{n+1}$ – das Basispolynom $x^k$ kann beispielsweise durch den kanonischen Einheitsvektor $e_{n+1-k}$ repräsentiert werden.

Ein beliebiges Polynom

\begin{align*} p(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\,x^k} \\[0.5em] &= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \end{align*}

kann somit exemplarisch durch den Vektor

\begin{align*} v &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k \cdot e_{n+1-k}} \\[0.5em] &= \begin{pmatrix} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} \end{align*}

dargestellt werden – und umgekehrt.