Rang einer Matrix

Beim Zeilenrang einer Matrix handelt es sich um die Dimension des Zeilenraums der Matrix. Entsprechend handelt es sich beim Spaltenrang um die Dimension des Spaltenraums. Bei Matrizen über einem Körper stimmen diese überein und werden schlicht als Rang bezeichnet. Allgemein handelt es sich beim Rang einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen um die Dimension des Bilds der Abbildung.

Definitionen

Rang einer Matrix

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\), ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\).

Es gelten die folgenden Bezeichnungen:

• Beim Zeilenrang handelt es sich um die Dimension des Zeilenraums $Z(A)$ der Matrix $A$.
• Beim Spaltenrang handelt es sich um die Dimension des Spaltenraums $S(A)$ der Matrix $A$.
• Für Matrizen über einem Körper entspricht der Zeilenrang stets dem Spaltenrang, sodass dieser häufig einfach nur als Rang der Matrix bezeichnet wird:
  \[ \rang\bigl(A\bigr) = \rg\bigl(A\bigr) = \dim\bigl(Z(A)\bigr) = \dim\bigl(S(A)\bigr). \]
  Hinweis: Für Matrizen über einem Ring gilt diese Gleichheit im Allgemeinen nicht.

Rang einer linearen Abbildung

Gegeben seien zwei Vektorräume \(\mathcal{V}\) und \(\mathcal{W}\) sowie eine lineare Abbildung \(f: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}\). Beim Rang der linearen Abbildung \(f\) handelt es sich um die Dimension des Bilds von \(f\); es gilt:

Hinweis: Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen denselben Rang.

Eigenschaften

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

• Die Nullmatrix ist die einzige Matrix mit Rang $0$:
  \[ \rg(0_{mn}) = 0. \]
• Die $n \times n$ Einheitsmatrix $E_n$ besitzt den vollen Rang $n$:
  \[ \rg(E_n) = n. \]
• Die transponierte Matrix $A^T$ (über einem Körper) besitzt denselben Rang wie die Matrix $A$:
  \[ \rg\bigl(A\bigr) = \rg\bigl(A^T\bigr). \]
• Der Zeilenrang der Matrix \(A\) entspricht dem Spaltenrang der transponierten Matrix \(A^T\) – und umgekehrt.
• Für Matrizen passender Dimensionen gilt:
  \begin{align*} \rg\bigl(A \pm B\Bigr) &\leq \rg\bigl(A\bigr) \pm \rg\bigl(B\bigr) \\[0.5em] \rg\bigl(A \cdot B\bigr) &\leq \min\bigl\{ \rg\bigl(A\bigr),\ \rg\bigl(B\bigr) \bigr\}. \end{align*}
• Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ vollen Spaltenrang hat, d. h., wenn $\rg\bigl(A\bigr) = n$ gilt.
• Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ vollen Zeilenrang hat, d. h., wenn $\rg\bigl(A\bigr) = m$ gilt.
• Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ quadratisch ist und wenn die Abbildungsmatrix vollen Rang hat, d. h., wenn $\rg\bigl(A\bigr) = m = n$ gilt.

Bestimmung des Zeilenrangs

Das Verfahren zur Bestimmung des Zeilenrangs einer Matrix beruht auf der Eigenschaft, dass elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum – und somit auch den Zeilenrang – einer Matrix nicht verändern: Wird die Matrix $A$ durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt, so bilden die Nichtnullzeilen der erhaltenen Matrix eine Basis des Zeilenraums $Z(A)$ und die Anzahl der Nichtnullzeilen entspricht dem gesuchten Zeilenrang.

Hinweis: Zur Bestimmung des Spaltenrangs kann die Matrix zunächst transponiert und anschließend der Zeilenrang der Transponierten bestimmt werden.

Beispiel 1

Gegeben sei die reelle \(3 \times 3\) Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Überführen in Zeilenstufenform liefert:

Die in Zeilenstufenform vorliegende Matrix besitzt zwei Nichtnullzeilen; somit gilt, dass die Matrix den Zeilenrang \(2\) besitzt.

Beispiel 2

Gegeben sei die \(2 \times 2\) Matrix $B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$ über dem Ring der ganzen Zahlen.

• Die Matrix hat den Zeilenrang 1, da die beiden Zeilen Vielfache voneinander sind – es gilt \(z_2 = 2 \cdot z_1\) – und in Zeilenstufenform somit nur eine Nichtnullzeile existiert.
• Die Matrix hat den Spaltenrang 2, da die beiden Spalten keine Vielfachen voneinander sind. Es gibt keine ganze Zahl \(\lambda\), so dass \(s_2 = \lambda \cdot s_1\) gilt.