Homomorphismus

Homomorphismus

Gegeben seien zwei algebraische Strukturen $\mathcal{A} = \bigl( A, {(f_i)}_{i \in I} \bigr)$ und $\mathcal{B} = \bigl(B, {(g_i)}_{i \in I} \bigr)$ desselben Typs $\sigma = {(n_i)}_{i \in I}$. Bei den Werten $n_i \in \N_0$ handelt es sich um die jeweils übereinstimmenden Stelligkeiten der fundamentalen Operationen $f_i$ und $g_i$ der beiden Algebren.

Eine Abbildung $\varphi: A \rightarrow B$ wird Homomorphismus von $A$ nach $B$ genannt, wenn sie strukturerhaltend bzw. strukturtreu ist, d. h., wenn für jedes $i \in I$ und alle Elemente $a_1,\ldots,a_{n_i} \in A$ die folgende Eigenschaft gilt:

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden. Besitzt die algebraische Struktur mehrere Verknüpfungen, so muss diese Bedingung für jede Verknüpfung gelten.

Hinweis: Weitere strukturelle Eigenschaften, die beispielsweise neutrale oder inverse Elemente betreffen, folgen zumeist unmittelbar aus der zuvor geforderten Eigenschaft und müssen im Allgemeinen nicht separat gefordert werden.

Schreibweisen

Einander entsprechende Verknüpfungen $f_i$ bzw. $g_i$ auf den Grundmengen $A$ und $B$ werden oft mit demselben Symbol $\star$ geschrieben. Müssen oder sollen die Verknüpfungen auseinandergehalten werden, können beispielsweise die Symbole der Trägermengen hinzugefügt werden. Für die Verknüpfung $\star$ wären dies beispielsweise die Schreibweisen $\star_A$ und $\star_B$. Besondere Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

• Sind $e_A$ und $e_B$ die Konstanten der zugehörigen nullstelligen Verknüpfungen, dann gilt:
  \[ \varphi(e_A) = e_B. \]
• Sind $-$ oder $ {}^{-1}$ exemplarische einstellige Verknüpfungen, so gilt:
  \begin{align*} \varphi(-x) &= -\varphi(x) \\[0.5em] \varphi\bigl(x^{-1}\bigr) &= {\bigl(\varphi(x)\bigr)}^{-1}. \end{align*}
• Für zweistellige Verknüpfungen $\star$ gilt:
  \begin{align*} \varphi(x_1 \star x_2) &= \varphi(x_1) \star \varphi(x_2) \\[0.5em] \varphi(x_1 \star_A x_2) &= \varphi(x_1) \star_B \varphi(x_2). \end{align*}

Bild und Kern

Beim Bild eines Homomorphismus $\varphi: A \rightarrow B$ handelt es sich um die Bildmenge von $A$ unter $\varphi$, also um die Menge derjenigen Elemente aus $B$, auf die die Elemente aus $A$ abgebildet werden:

Es gilt stets $\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq B$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{Bild}(\varphi) = B$ gilt. Das Bild eines Homomorphismus ist stets eine Unterstruktur desselben Typs in der Struktur $\mathcal{B}$.

Sofern die Struktur $\mathcal{B}$ ein ausgezeichnetes neutrales Element $e \in B$ besitzt, wird der Kern von $\varphi$ als die Menge der Elemente aus $A$ definiert, die auf $e$ abgebildet werden:

Es gilt stets $\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq A$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ nur das neutrale Element enthält. Existiert kein neutrales Element, so ist der Kern nicht definiert.

Verkettung von Homomorphismen

Sind $\varphi_1: A_1 \rightarrow A_2$ und $\varphi_2: A_2 \rightarrow A_3$ Homomorphismen desselben Typs, so ist auch ihre Verkettung bzw. Komposition $\varphi_2 \circ \varphi_1: A_1 \rightarrow A_3$ ein Homomorphismus desselben Typs.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Homomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Halbgruppenhomomorphismus

Bei einem Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H_1 \to H_2$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Halbgruppen $\mathcal{H}_1 = \bigl(H_1, \star\bigr)$ und $\mathcal{H}_2 = \bigl(H_2, \diamond\bigr)$. Für alle Elemente $a,b \in H_1$ gilt die folgende Eigenschaft:

Monoidhomomorphismus

Bei einem Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \to M_2$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Monoiden $\mathcal{M}_1 = \bigl(M_1, \star\bigr)$ und $\mathcal{M}_2 = \bigl(M_2, \diamond\bigr)$. Für alle Elemente $a,b \in M_1$ sowie die neutralen Elemente $e_\star$ und $e_\diamond$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Jeder Monoidhomomorphismus ist ebenfalls ein Halbgruppenhomomorphismus.

Gruppenhomomorphismus

Bei einem Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \to G_2$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1, \star\bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2, \diamond\bigr)$. Für alle Elemente $a,b \in G_1$, die zugehörigen inversen Elemente $a^{-1}$ sowie die neutralen Elemente $e_\star$ und $e_\diamond$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Jeder Gruppenhomomorphismus ist ebenfalls ein Monoid- und ein Halbgruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Bei einem Ringhomomorphismus $\varphi: R_1 \to R_2$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Ringen $\mathcal{R}_1 = \bigl(R_1, \oplus, \odot\bigr)$ und $\mathcal{R}_2 = \bigl(R_2, \boxplus, \boxdot\bigr)$. Für alle Elemente $a,b \in R_1$, die zugehörigen additiven inversen Elemente $-a$ sowie die additiven neutralen Elemente $e_\oplus$ und $e_\boxplus$ gelten die folgenden Eigenschaften:

In einem Ring mit Eins gilt für die multiplikativen neutralen Elemente $e_\odot$ und $e_\boxdot$ zudem die folgende Eigenschaft:

Körperhomomorphismus

Bei einem Körperhomomorphismus $\varphi: K_1 \to K_2$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Körpern $\mathcal{K}_1 = \bigl(K_1, \oplus, \odot\bigr)$ und $\mathcal{K}_2 = \bigl(K_2, \boxplus, \boxdot\bigr)$. Für alle Elemente $a,b \in K_1$, die zugehörigen additiven inversen Elemente $-a$, die zugehörigen multiplikativen inversen Elemente $a^{-1}$ (für $a \neq e_\oplus$) sowie die neutralen Elemente $e_\oplus$, $e_\odot$, $e_\boxplus$ und $e_\boxdot$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Der Kern eines Körperhomomorphismus enthält stets nur das Nullelement. Jeder Körperhomomorphismus ist somit stets injektiv – und somit ein Körpermonomorphismus. Jeder Körperhomomorphismus ist ebenfalls ein Ringhomomorphismus.

Vektorraumhomomorphismus

Bei einem Vektorraumhomomorphismus bzw. einer linearen Abbildung $\varphi: V \to W$ handelt es sich um einen Homomorphismus zwischen zwei Vektorräumen $\mathcal{V} = \bigl(V, \oplus, \odot\bigr)$ und $\mathcal{W} = \bigl(W, \boxplus, \boxdot\bigr)$ über einem Körper $\mathcal{K}$. Für alle Elemente $x,y \in V$ und $\lambda \in K$ sowie die neutralen Elemente $0_V$ und $0_W$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Triviale Beispiele

• Für eine beliebige algebraische Struktur $\mathcal{A}$ handelt es sich bei der identischen Abbildung $\id_A: A \rightarrow A$ mit $\id_A(a) = a$ um einen Automorphismus.

Nichttriviale Beispiele

• Bei der Exponentialfunktion handelt es sich um einen Gruppenmonomorphismus zwischen der additiven Gruppe $\bigl(\mathbb{R},+\bigr)$ und der multiplikativen Gruppe $\bigl(\mathbb{R} \setminus \{0\},\cdot\bigr)$; es gilt:
  \[ e^{x+y} = e^x \cdot e^y. \]
• Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um einen Körperautomorphismus auf den komplexen Zahlen.
• Bei der Abbildung $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m$ mit $a \mapsto {[a]}_m$ handelt es sich um einen Ringepimorphismus zwischen dem Ring der ganzen Zahlen und dem Restklassenring $\mathbb{Z}_m$.
• Bei der Transpositionsabbildung zwischen den Matrizenräumen $\mathcal{R}^{m \times n}$ und $\mathcal{R}^{n \times m}$ handelt es sich um einen Isomorphismus.