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Spaltenraum einer Matrix

Beim Spaltenraum einer Matrix handelt es sich um den Vektorraum, der durch die Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen \(m,n \in \N\), ein Ring oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen –, sowie eine $m \times n$ Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit den Spaltenvektoren \(s_1,\ldots,s_n \in \mathcal{R}^m\):

\[ A = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] s_1 & \cdots & s_n \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix}. \]

Beim Spaltenraum $S(A)$ der Matrix $A$ handelt es sich um die lineare Hülle der Spaltenvektoren – also um die Menge aller Linearkombinationen der Spaltenvektoren $s_1,\ldots,s_n$:

\begin{align*} S(A) &= \Lin\bigl( s_1,\ldots,s_n \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ \lambda_1 \cdot s_1 + \ldots + \lambda_n \cdot s_n \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{R} \Bigr\}. \end{align*}

Eigenschaften

Für den Spaltenraum $S(A)$ der Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Der Spaltenraum $S(A)$ ist ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{R}^m$.
  • Der Spaltenraum der Matrix $A$ entspricht dem Zeilenraum der transponierten Matrix $A^T$.
  • Die Dimension des Spaltenraums wird als Spaltenrang der Matrix bezeichnet und ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten des Spaltenraums.
  • Zusammen mit dem Nullraum $N(A^T)$ der transponierten Matrix $A^T$ gilt die folgende Dimensionsformel:
    \[ \dim\bigl(S(A)\bigr) + \dim\bigl(N(A^T)\bigr) = m. \]
    Die Summe der Dimensionen des Spaltenraums von $A$ und des Nullraums der transponierten Matrix $A^T$ entspricht der Anzahl der Zeilen von $A$.

Basis des Spaltenraums

Das Verfahren zur Bestimmung einer Basis des Spaltenraums einer Matrix kann direkt auf das Verfahren zur Bestimmung einer Basis des Zeilenraums zurückgeführt werden, indem anstelle einer Basis des Spaltenraums $S(A)$ der Matrix $A$ eine Basis des zum Spaltenraum identischen Zeilenraums $Z(A^T)$ der transponierten Matrix $A^T$ bestimmt wird.

Beispiel

Gegeben sei die Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$. Transponieren der Matrix liefert $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Anschließendes Überführen der transponierten Matrix in Zeilenstufenform liefert:

\begin{array}{rrr|r|l} 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 4 & 5 & 6 & \text{II} - 4 \cdot \text{I} \\[0.25em] 7 & 8 & 9 & \text{III} - 7 \cdot \text{I} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & -3 & -6 & \text{II} \cdot (-\frac{1}{3}) \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & -6 & -12 & \text{III} + 6 \cdot \text{II} \\[0.25em] \hline 1 & 2 & 3 & \text{I} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \\[0.25em] \hline 1 & 0 & -1 & \\[0.25em] 0 & 1 & 2 & \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & \end{array}

Die Nichtnullzeilen $(1,2,3)$ und $(0,1,2)$ der in Zeilenstufenform vorliegenden Matrix im vorletzten Schritt bilden eine Basis des Zeilenraums $Z(A^T)$ und somit auch des Spaltenraums \(S(A)\). Eine weitere Basis wird durch die Vektoren $(1,0,-1)$ und $(0,1,2)$ gebildet, die dadurch erhalten wurden, dass die Matrix $A^T$ nicht nur in Zeilenstufenform, sondern in die reduzierte Zeilenstufenform überführt wurde.